Амплитуда напряжения в линии

Как найти амплитуду напряжения формула

(AC — Alternating Current) — электрический ток, меняющий свою величину и направление с течением времени.

Часто в технической литературе переменным называют ток, который меняет только величину, но не меняет направление, например, пульсирующий ток. Необходимо помнить при расчётах, что переменный ток в этом случае является лишь составляющей частью общего тока. Такой вариант можно представить как переменный ток AC

с постоянной составляющей
DC
. Либо как постоянный ток с переменной составляющей, в зависимости от того, какая составляющая наиболее важна в контексте.

Читайте также: Нормы и порядок измерения сопротивления изоляции кабеля

— Direct Current — постоянный ток, не меняющий своей величины и направления.

В реальности постоянный ток не может сохранять свою величину постоянной, поэтому существует условно в тех случаях, где можно пренебречь изменениями его постоянной величины, либо в качестве составляющей (DC

) для периодически меняющегося электрического тока любой формы. Тогда величина
DC
будет равна среднему значению тока за период, и будет являться нулевой линией для переменной составляющей
AC
.

При синусоидальной форме тока, например в электросети, постоянная составляющая DC

Постоянный ток с переменной составляющей в виде пульсаций показан синей линией на верхнем графике рисунка. Запись AC+DC

в данном случае не является математической суммой, а лишь указывает на две составляющие тока. Суммируются мощности. Величина тока будет равна квадратному корню из суммы квадратов двух величин — значения постоянной составляющей
DC
и среднеквадратичного значения переменной составляющей
AC
.

Термины AC

и
DC
применимы как для тока, так и для напряжения.

Что такое переменное напряжение?

Как известно электрическим током называется упорядоченное движение заряженных частиц, которое возникает под действием разности потенциалов или напряжения. Одной из основных характеристик любого типа напряжения является его зависимость от времени. В зависимости от данной характеристики различают постоянной напряжение, значение которого с течением времени практически не изменяется и переменное напряжение, изменяющееся во времени.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Переменное напряжение в свою очередь бывает периодическим и непериодическим. Периодическим называется такое напряжение, значения которого повторяются через равные промежутки времени. Непериодическое напряжение может изменять своё значение в любой период времени. Данная статья посвящена периодическому переменному напряжению.

Постоянное (слева), периодическое (в центре) и непериодическое (справа) переменное напряжение.

Минимальное время, за которое значение переменного напряжения повторяется, называется периодом. Любое периодическое переменное напряжение можно описать какой-либо функциональной зависимостью. Если время обозначить через t, то такая зависимость будет иметь вид F(t), тогда в любой период времени зависимость будет иметь вид

Читайте также: Какая максимальная нагрузка допускается для масляных трансформаторов ?

Величина обратная периоду Т, называется частотой f. Единицей измерения частоты является Герц, а единицей измерения периода является Секунда

Наиболее часто встречающаяся функциональная зависимость периодического переменного напряжения является синусоидальная зависимость, график которой представлен ниже

Синусоидальное переменное напряжение.

Из математики известно, что синусоида является простейшей периодической функцией, и все другие периодические функции, возможно, представить в виде некоторого количества таких синусоид, имеющих кратные частоты. Поэтому необходимо изначально рассмотреть особенности синусоидального напряжения.

Таким образом, синусоидальное напряжение в любой момент времени, мгновенное напряжение, описывается следующим выражением

где Um – максимальное значение напряжения или амплитуда,

ω –угловая частота, скорость изменения аргумента (угла),

φ – начальная фаза, определяемая смещением синусоиды относительно начала координат, определяется точкой перехода отрицательной полуволны в положительную полуволну.

Величина (ωt + φ) называется фазой, характеризующая значение напряжения в данный момент времени.

Таким образом, амплитуда Um, угловая частота ω и начальная фаза φ являются основными параметрами переменного напряжения и определяют его значение в каждый момент времени.

Обычно, при рассмотрении синусоидального напряжения считают, что начальная фаза равна нулю, тогда

В практической деятельности, довольно часто, используют ещё ряд параметров переменного напряжения, такие как, действующее напряжение, среднее напряжение и коэффициент формы, которые мы рассмотрим ниже.

Параметры переменного тока и напряжения

Величина переменного тока, как и напряжения, постоянно меняется во времени. Количественными показателями для измерений и расчётов применяются их следующие параметры:

Период
T
— время, в течении которого происходит один полный цикл изменения тока в оба направления относительно нуля или среднего значения.

Частота
f
— величина, обратная периоду, равная количеству периодов за одну секунду. Один период в секунду это один герц (1 Hz)

Читайте также: Обзор датчика движения IEK ДД 009: характеристики и отзывы, инструкция по подключению и настройке

Циклическая частота
ω
— угловая частота, равная количеству периодов за
2π
секунд.

Обычно используется при расчётах тока и напряжения синусоидальной формы. Тогда в пределах периода можно не рассматривать частоту и время, а исчисления производить в радианах или градусах. T = 2π = 360°

Начальная фаза
ψ
— величина угла от нуля (
ωt
= 0) до начала периода. Измеряется в радианах или градусах. Показана на рисунке для синего графика синусоидального тока.

Начальная фаза может быть положительной или отрицательной величиной, соответственно справа или слева от нуля на графике.

Мгновенное значение

— величина напряжения или тока измеренная относительно нуля в любой выбранный момент времени
t
.

Последовательность всех мгновенных значений в любом интервале времени можно рассмотреть как функцию изменения тока или напряжения во времени. Например, синусоидальный ток или напряжение можно выразить функцией:

i = I ampsin(ωt); u = U ampsin(ωt)

С учётом начальной фазы:

i = I ampsin(ωt + ψ); u = U ampsin(ωt + ψ)

Здесь I amp

и
U amp
— амплитудные значения тока и напряжения.

Что такое действующее напряжение переменного тока?

Как я писал выше, одним из основных параметров переменного напряжения является амплитуда Um, однако использовать в расчётах данную величину не удобно, так как временной интервал в течение, которого значение напряжения u равно амплитудному Um ничтожно мал, по сравнению с периодом Т напряжения. Использовать мгновенное значение напряжения u, также не очень удобно, вследствие больших объёмов расчётов. Тогда возникает вопрос, какое значение переменного напряжения использовать при расчётах?

Для решения данного вопроса необходимо обратиться к энергии, которая выделяется под воздействием переменного напряжения, и сравнить её с энергией, которая выделяется под воздействием постоянного напряжения. Для решения данного вопроса обратимся к закону Джоуля – Ленца для постоянного напряжения

Для переменного напряжения мгновенное значение выделяемой энергии составит

где u – мгновенное значение напряжения

Тогда количество энергии за полный период от t0 = 0 до t1 = T составит

Приравняв выражения для количества энергии при переменном напряжении и постоянном напряжении и выразив полученное выражение через постоянное напряжение, получим действующее значение переменного напряжения

Получившееся выражение, позволяет вычислить действующее значение напряжение U для периодического переменного напряжения любой формы. Из выше изложенного можно сделать вывод, что действующее значение переменного напряжения называется такое постоянное напряжение, которое за такое же время и на таком же сопротивлении выделяет такую же энергию, которая выделяется данным переменным напряжением.

Действующее значение синусоидального напряжения.

Вычислим действующее значение синусоидального напряжения

Стоит отметить, все напряжения электротехнических устройств определяются, как правило, действующим значением напряжения.

Для определения амплитудного значения синусоидального напряжения необходимо преобразовать полученное выражение

Таким образом если в розетке у нас U = 230 В, следовательно, амплитудное значение данного напряжения

Читайте также: Как зарядить телефон, если сломалось гнездо. Как починить разъем зарядки в домашних условиях с видео

Действующее напряжение также имеет название эффективного напряжения и среднеквадратичного напряжения.

С действующим напряжением разобрались, теперь рассмотрим среднее значение напряжение.

Всё о напряжении

Напряжение — разность потенциалов между двумя точками пространства. Измеряется в вольтах. Так напряжение между плюсовым и минусовым контактом батарейки составляет 1,5 вольта, а между поверхностью земли и грозовым облаком — миллионы вольт!

Всем известно, что в нашей розетке напряжение переменного тока составляет 220 — 230 вольт. А вот, в трёхфазной розетке — 380 вольт. Разница заключается в том, что в первом случае мы получаем фазное, а во втором — линейное напряжение. Так что же такое линейное напряжение и что такое фазное напряжение , и каково соотношение между ними? И по какой причине соотношения именно таковы.

Как в квартиру, так и на предприятие электроэнергия передаётся от генерирующих электростанций по высоковольтным линиям электропередач (в нашей стране — частотой 50 Гц). На трансформаторных подстанциях высокое напряжение понижается, и распределяется по потребителям . Но если у вас в квартире сеть однофазная (надо заметить, что в последнее время у бытовых потребителей имеется возможность подключения к трёхфазной сети), то на производстве — трехфазная, давайте разберёмся, в чём же разница.

Действующее значение и амплитудное значение напряжения

Говоря — 220 или 380 вольт, мы имеем ввиду действующие значения напряжений, другими словами — среднеквадратичные значения напряжений. Фактически амплитудное значение переменного напряжения всегда выше фазного Umф или линейного Umл. Для синусоидального напряжения его амплитуда больше действующего значения в квадратный корень из 2 раз,(1,414 раза).

Отсюда выходит, что фазное напряжение в 220 соответствует амплитудному — 310 вольт, а для линейного напряжения в 380 вольт амплитуда окажется равной 537 вольт. Разумеется, на практике напряжение в розетке часто не соответствует именно 220 вольтам, оно может быть больше или меньше этой величины, но должно укладываться в допустимые параметры.

Что такое фазное напряжение в сети переменного тока?

На электростанции обмотки генератора соединены по схеме «звезда», то есть объединены концами X, Y и Z в одной точке, которая называется нейтралью или нулевой точкой генератора. Такая схема называется четырехпроводной трехфазной схемой. К выводам обмоток A, B и C присоединяются линейные провода, а к нулевой точке — нейтральный или нулевой провод.

Напряжения между выводом A и нулевой точкой, B и нулевой точкой, С и нулевой точкой, — называются фазными напряжениями, их обозначают Ua, Ub и Uc, ну а поскольку сеть симметрична, то можно просто написать Uф — фазное напряжение.

Линейное напряжение трехфазной сети

Действующее напряжение между выводом A и B, между выводом B и C, между выводом C и A, — называются линейными напряжениями, то есть это напряжения между линейными проводами трехфазной сети. Их обозначают Uab, Ubc, Uca, или можно просто написать Uл.

Линейное напряжение в наших электросетях составляет приблизительно 380 вольт. Соотношение фазного и линейного напряжения в любой трёхфазной сети с заземлённой нейтралью составляет 1,732, или квадратный корень из 3. Не смотря на то что фактическое напряжение в сети может изменяться в определённых пределах, в зависимости от загруженности, соотношение между фазным и линейным напряжением остаётся неизменным.

Что такое среднее значение переменного напряжения?

Ещё одним параметром переменного напряжения, который его характеризует, является средним значением переменного напряжения. В отличие от действующего значения переменного напряжения, которое характеризует работу переменного напряжения, среднее значение напряжения характеризует количество электричества, которое перемещается из одной точки цепи в другую, под действием переменного напряжения. Среднее значение напряжения за период определяется следующим выражением

где Т – период переменного напряжения,

fu(t) – функциональная зависимость напряжения от времени.

Таким образом, среднее значение переменного напряжения численно будет равно высоте прямоугольника с основанием T, площадь которого равна площади, ограниченной функцией fu(t) и осью Ox за период Т.

Среднее значение переменного напряжения.

В случае синусоидальной функции, можно говорить только о среднем значении за полупериод, так как в течение всего периода положительная полуволна компенсируется отрицательной полуволной, и тогда среднее за период напряжение будет равно нулю.

Таким образом, среднее за полупериод Т/2 значение переменного напряжения синусоидальной формы будет равно

где Um – максимальное значение напряжения или амплитуда,

ω –угловая частота, скорость изменения аргумента (угла).

Колебания в линиях без потерь

Любая реальная линия всегда обладает потерями. Однако на практике во многих случаях применяются очень короткие линии, собственное затухание которых составляет тысячные доли децибел, а длина их

В подобных линиях величины первичных параметров R и G очень малы

Определение:

Линии, в которых удовлетворяются условия называются линиями с пренебрежимо малыми потерями или линиями без потерь.

Такая идеализация справедлива для линий, работающих в области сверхвысоких частот (фидеров, измерительных линий, согласующих СВЧ устройств и т. д.). Она позволяет более ясно представить волновые процессы в длинных линиях и существенно упростить расчёты.

25.1.1. Вторичные параметры и уравнения передачи длинной линии без потерь

При условии равенства нулю первичных параметров R = 0 и G = 0 вторичные параметры линии без потерь принимают вид:

коэффициент распространения линии без потерь чисто мнимый:

коэффициент затухания равен нулю

коэффициент фазы линейно зависит от частоты

волновое сопротивление является чисто активным (резистивным)

Уравнения передачи линии без потерь, описывающие распределение напряжений и токов в режиме гармонических колебаний, можно получить из выражений (24.16) и (24.17) после подстановки в них соответствующих вторичных параметров. Необходимо также учесть, что в теории длинных линий без потерь общепринято отсчитывать расстояние до выбранного сечения не от начала линии, а от её конца, как показано на рис. 25.1. Тогда, произведя в уравнениях (24.16) и (24.17) замены получаем:

(25.1)

Группируя слагаемые в уравнениях (25.1) и пользуясь формулой Эйлера

приведём систему уравнений к более удобному виду:

(25 2)

Выразим напряжение и ток через напряжение и ток падающей волны. Рассмотрим первое уравнение в (25.1):

в котором стоящая в скобках дробь представляет собой коэффициент отражения р линии без потерь. Действительно,

и согласно определению (24.15) имеем:

(23.5)

Полученный результат позволяет записать выражение для комплексной амплитуды напряжения

(25.4)

Аналогичные преобразования второго уравнения в (25.1) приводят к записи комплексной амплитуды тока в виде:

(25.5)

Уравнения (25.4) и (25.5) являются уравнениями передачи длинной линии без потерь, которые удобно представить в виде системы уравнений:

(25.6)

в длинных линиях без потерь модуль коэффициента отражения при нагрузке линии на любой пассивный двухполюсник не может превышать единицы.

Действительно, поскольку вещественная часть комплексного пассивного сопротивления нагрузки всегда не меньше нуля , то имеет место неравенство

(25.7)

По этой причине амплитуда отражённой волны в линии без потерь при любой пассивной нагрузке не может превышать амплитуду падающей волны.

Режим бегущей волны (согласованной нагрузки) в линии без потерь

Рассмотрим частный случай, когда сопротивление нагрузки линии без потерь является чисто активным и равным волновому сопротивлению

Понятно, что при этом условии отношение напряжения на нагрузке равно произведению волнового сопротивления на ток в нагрузке а уравнения передачи принимают вид:

(25.8)

Переходя от комплексных амплитуд к мгновенным значениям колебаний, из (25.8) получаем:

(25.9)

где — начальная фаза колебаний в конце линии.

Из (25.9) можно сделать следующие выводы (рис. 25.2):

• начальные фазы напряжения и тока в конце линии равны друг другу поскольку
• отражённая волна отсутствует;
• колебания напряжения и тока в любом сечении линии происходят в фазе;
• амплитуды тока и напряжения остаются неизменными по всей линии.

Режим стоячих волн

Рассмотрим режим длинной линии, когда модуль коэффициента отражения равен единице: Это приводит к полному отражению падающей волны,

что согласно формуле коэффициента отражения для линии без потерь (25.7) возможно в трёх случаях:

• линия замкнута накоротко ;
• линия разомкнута
• линия нагружена на чисто реактивное сопротивление .

Изучим указанные варианты, для чего положим для простоты значение начальной фазы падающей волны в конце линии равным нулю и получим мгновенные значения напряжения и тока.

Обратимся к системе уравнений (25.6) и вновь рассмотрим уравнение для напряжения, где

где — аргумент коэффициента отражения. Отсюда получаем мгновенные значения напряжения:

Следовательно, мгновенное значение напряжения в линии без потерь имеет вид:

Применение к последнему равенству известной формулы для суммы косинусов

дает следующий результат:

(25.11)

Аналогично, с использованием формулы для разности косинусов, можно получить выражение для тока:

Изучим выражение (25.11). Оно отображает гармоническое колебание с частотой и амплитудой

значения которой изменяются вдоль линии следующим образом:

в сечениях линии, где

амплитуда гармонического напряжения принимает максимальное значение, вдвое превышающее амплитуду напряжения падающей волны;

в сечениях линии, где

амплитуда напряжения равна нулю .

Картина распределения напряжения вдоль линии для двух моментов времени показана на рис. 25.3.

Рассмотренный режим колебаний в линии называется режимом стоячих волн.

Режим стоячих волн характеризуется (рис. 25.3):

наличием в линии сечений, в которых амплитуда колебаний равна нулю, и сечений, в которых она максимальна; первые называются узлами, вторые — пучностями стоячей волны;

удалённостью смежных узлов и смежных пучностей друг от друга на расстояние, равное половине длины падающей (отражённой) волны, что следует из (25.13) и (25.14);

расстоянием между узлом и смежной пучностью, равным четверти длины волны;

В режиме короткого замыкания линии , поэтому

синфазностью колебаний напряжения в любых сечениях (точках), находящихся между смежными узлами;

скачкообразным изменением фазы колебаний на при переходе через узел.

Анализируя выражение (25.12) для тока, получаем те же выводы, что и для напряжения, но узлы тока совпадают с пучностями напряжения, а пучности тока — с узлами напряжения, что показано (рис. 25.4) на примере распределения амплитуд напряжений и токов в короткозамкнутой линии (режим короткого замыкания): в конце линии расположен узел напряжения , которому соответствует пучность тока.

Распределение амплитуд и фаз можно найти из (25.11) и (25.12), если положить поскольку при коротком замыкании

Распределение амплитуд напряжений и токов в разомкнутой линии (режим холостого хода) показано на рис. 25.5: в конце линии располагаются узел тока и пучность напряжения.

При нагрузке линии реактивным сопротивлением первый узел или первая пучность напряжения располагается на удалении четверти длины волны от конца линии.

Выводы:

• в режиме стоячих волн не происходит рассеяния энергии, подведённой ко входу линии, поскольку в самой линии, по определению, отсутствуют потери R = G = 0, а сопротивление нагрузки, как указано в начале данного раздела, или равно нулю, или бесконечно велико, или чисто реактивно;
• по этой причине разность фаз колебаний напряжения и тока в любом сечении линии равна что видно из сравнения выражения для напряжения (25.10) и для тока (25.11);
• последнее означает, что входное сопротивление линии является чисто реактивным.

Режим смешанных волн

Изученные режимы бегущих и стоячих волн соответствуют предельным случаям, в первом из которых отражённая волна отсутствует а в других — амплитуды падающей и отражённой волн одинаковы во всех сечениях длинной линии.

Рассмотрим режим линии без потерь при несогласованной нагрузке, когда Ясно, что в таком случае отражённая волна присутствует, причём её амплитуда меньше амплитуды падающей волны.

На основании (25.10) запишем решение для мгновенного значения напряжения при

где — аргумент коэффициента отражения.

Покажем, что это выражение описывает сумму бегущей и стоячей волн. Для этого в правой части уравнения вычтем и прибавим слагаемое

(25.15)

Таким образом, в рассматриваемом режиме происходит наложение бегущей (первое слагаемое) и стоячей (второе слагаемое) волн. По этой причине подобный режим колебаний называется режимом смешанных волн. Графики распределения амплитуд напряжения и тока в данном режиме показаны на рис. 25.б.

В узлах напряжений стоячей волны, где амплитуда напряжения в линии совпадает с амплитудой бегущей волны и минимальна:

Т. е. равна разности амплитуд падающей и отражённой волн.

Соответствующие сечения отстоят друг от друга на расстоянии, равном половине длины волны Пучности стоячей волны располагаются в тех сечениях, где т. е. там, где Подставляя в (25.15)

получаем:

Следовательно, в сечениях, соответствующих пучностям стоячей волны, амплитуды падающей и отражённой волн складываются, и напряжение в этих сечениях максимально:

В силу того, что в стоячей волне узлам напряжения соответствуют пучности тока и наоборот, то в режиме смешанных волн в сечениях, где амплитуда напряжения минимальна (максимальна), амплитуда тока максимальна (минимальна) и составляет:

Определение:

Отношение минимальной и максимальной амплитуд колебаний напряжения (тока) в линии называется коэффициентом бегущей волны.

(25.16)

Режиму бегущей волны соответствует а режиму стоячей волны

Входное сопротивление линии без потерь

Определение:

Входным сопротивлением линии в сечении, удалённом на расстояние от конца линии, называют отношение комплексных амплитуд напряжения и тока в этом сечении.

Согласно (24.33) имеем:

(25.17)

Поскольку амплитуды падающей и отражённой волн в линии без потерь остаются, как было показано ранее, неизменными по всей длине линии, и амплитуды повторяются с периодом, равным половине длины волны, то и входное сопротивление линии обладает тем же периодом:

что также видно из (25.17).

Действительно, вычисляя показатель правой экспоненты в сечении линии, равном , получаем:

а при таком показателе значение экспоненты

Рассмотрим два важных для практики режима, используемые для определения первичных и вторичных параметров длинных линий при их строительстве и эксплуатации: режим КЗ и режим XX.

Режим короткого замыкания линии

Для этого режима коэффициент отражения а входное сопротивление, согласно (25.17),

(25.18)

чисто реактивно. Это является следствием того, что электрическая энергия при коротком замыкании (КЗ) линии не рассеивается. График входного сопротивления в режиме КЗ (рис. 25.7) представляет собой обычную тангенсоиду как функцию координаты. В пучностях напряжений (узлах тока) сопротивление короткозамкнутой линии бесконечно велико (имеет место полюс сопротивления), а в узлах напряжения (пучностях тока) оно равно нулю (имеет место нуль сопротивления). На участке линии, длина которого равна половине длины волны, сопротивление линии изменяется от до что даёт возможность подобрать такой отрезок длинной линии без потерь, который при заданной длине волны (частоте колебаний) имел бы любое наперёд определённое реактивное сопротивление как индуктивного, так и ёмкостного характера.

Положение полюсов и нулей сопротивления зависит от частоты колебания, действующего в линии длиной . Эта зависимость объясняется тем, что коэффициент фазы является функцией частоты (24.6). Найдём частоты на которых располагаются полюсы сопротивления, для чего в (25.18) заменим на .

Ясно, что функция обращается в бесконечность, когда её аргумент принимает значения При этом условии и равенстве (24.6) получаем выражение

(25.19)

Отсюда первый полюс сопротивления расположен на частоте

(25.20)

на которой короткозамкнутая линия ведет себя как параллельный колебательный LC-контур, имеющий резонансную частоту .

Режим холостого хода линии

В режиме холостого хода (XX) р = 1 входное сопротивление

также чисто реактивно. Его график представлен на рис. 25.8.

Сравнение графиков рис. 25.7 и 25.8 показывает, что один из них сдвинут относительно другого на четверть длины волны. Это естественно, поскольку разомкнутую на конце линию можно нарастить короткозамкнутым четвертьволновым отрезком, имеющим большое входное сопротивление, что никак не нарушит режима в линии.

Согласно (25.21) полюсы сопротивления в режиме XX линии длиной будут располагаться на частотах где т. е. на тех частотах, на которых располагаются нули сопротивления короткозамкнутой линии, а именно:

(25.22)

Выводы из разд. 25.4.1 и 25.4.2:

• при любой из частот (25.19) и (25.22) по длине линии укладывается ровно четвертьволновых отрезков;
• нули и полюсы сопротивления перемежаются (чередуются);
• на частотах, на которых располагаются полюсы (нули) сопротивления короткозамкнутой линии, располагаются нули (полюсы) разомкнутой линии;
• сопротивление линии возрастает с ростом частоты.

Входное сопротивление линии с произвольной нагрузкой

Рассмотрим выражение (25.17) при произвольном комплексном сопротивлении нагрузки . Входное сопротивление будет принимать максимальное по модулю значение в тех сечениях линии, где числитель максимален, а знаменатель минимален. Это возможно, когда

В таких случаях входное сопротивление чисто активно и максимально:

С другой стороны, входное сопротивление минимально по модулю в тех сечениях линии, где числитель минимален, а знаменатель максимален. Это возможно, когда

В таких случаях входное сопротивление также чисто активно, но минимально:

Понятно, что расстояние между смежными сечениями линии, в которых её входное сопротивление чисто активно и максимально (минимально), равно половине длины волны в линии, поскольку на таком расстоянии относительно друг друга расположены максимумы (минимумы) амплитуды напряжения. А посредине между ними расположены минимумы (максимумы) активной части входного сопротивления линии.

Действительно, расстояние между смежными сечениями (или ) составляет

а расстояние между смежными сечениями и равно:

В промежутках между этими сечениями линии её входное сопротивление является комплексным. Графики и показаны на рис. 25.9.

Таким образом, вещественная составляющая входного сопротивления находится в границах:

Примеры применения длинных линий с пренебрежимо малыми потерями

При синтезе разнообразных линейных электрических цепей частр существенную роль играет относительная ширина рабочей полосы частот , под которой понимают отношение рабочей полосы частот к среднегеометрической частоте рабочей полосы

Чем меньше это отношение, тем уже относительная ширина. В большинстве практически важных случаев относительная ширина рабочей полосы частот, в которой используется линия с пренебрежимо малыми потерями, является весьма узкой. По этой причине можно без большой погрешности пользоваться характеристиками линии для среднегеометрической частоты рабочей полосы частот.

Такой «одночастотный» подход позволяет строить разнообразные устройства на отрезках длинных линий с пренебрежимо малыми потерями.

Металлический изолятор

Входное сопротивление короткозамкнутого четвертьволнового отрезка линии стремится к бесконечности (рис. 25.7):

что позволяет использовать такой отрезок линии в качестве металлического изолятора на частоте , длина волны которой в четыре раза больше длины самого отрезка.

При наличии малых потерь (собственное затухание линии ) мнимая составляющая входного сопротивления четвертьволнового отрезка равна нулю

поэтому такой отрезок обладает только вещественным сопротивлением

которое значительно больше волнового сопротивления линии

Такие изоляторы по своим электрическим и конструктивно-механическим параметрам превосходят изоляторы из диэлектриков. Их используют для подвески двухпроводных воздушных фидерных линий (рис. 25.10): жёсткие металлические трубы или прутья подсоединяются к линии, их нижние концы заземляются, чем обеспечивается режим КЗ.

для чётных гармоник рабочей частоты металлический изолятор представляет малое сопротивление, приближённо равное , поэтому такой отрезок может использоваться в качестве фильтра, подавляющего все чётные гармоники частоты Это объясняется следующим: в режиме КЗ на частотах, где у линии без потерь располагаются нули сопротивления входное сопротивление линии с малыми потерями оказывается равным (24.30)

Колебательный контур

Колебательные системы техники сверхвысоких частот (СВЧ) не могут быть построены на катушках индуктивности и конденсаторах, поэтому взамен их используются отрезки линий с малыми потерями в режиме короткого замыкания или холостого хода.

Согласно (25.20) короткозамкнутый отрезок линии (рис. 25.11) в области первого из полюсов сопротивления (рис. 25.7) эквивалентен параллельному колебательному контуру, имеющему резонансную частоту

и резонансное сопротивление

которое можно получить из общей формулы (24.33) при условии, что для короткозамкнутой линии

Ширину полосы пропускания такого колебательного контура на уровне 0,707 можно найти по приближённой формуле

также получаемой из (24.33).

Добротность короткозамкнутого четвертьволнового отрезка

может достигать нескольких тысяч, что по крайней мере на порядок выше добротности, достижимой в RLC-KOHTypax.

Линейный вольтметр

Определение:

Линейным вольтметром (рис. 25.12) называется измерительный прибор с малым входным сопротивлением , включённый через четвертьволновый отрезок линии.

Подключение измерительного прибора к четвертьволновому отрезку образует практически короткозамкнутый отрезок, входное сопротивление которого (а потому и самого линейного вольтметра) становится очень большим. Такой прибор не оказывает заметного влияния на режим работы линии, а потому и на результаты измерений напряжения.

Действующие значения тока протекающего через измерительный прибор, и напряжения подведённого к линейному вольтметру, связаны соотношением , что следует из уравнений (25.8) при Подобные приборы используются в технике СВЧ.

Трансформатор сопротивлений

В технике СВЧ типовым является каскадное включение линий, имеющих разные волновые сопротивления и (рис. 25.13). В связи с этим возникает задача согласования сопротивлений таких линий, т. е. преобразование, или трансформация указанных сопротивлений.

Для этого между двумя линиями включают согласующий трансформатор сопротивлений, представляющий собой четвертьволновый отрезок. Найдём, чему должно быть равно волновое сопротивление этого отрезка. Воспользуемся уравнениями передачи линии в форме (25.2) при условии, что , и запишем их для отрезка длиной

Отсюда имеем входное

Но входное сопротивление отрезка равно волновому сопротивлению левой линии а сопротивление его нагрузки равно волновому сопротивлению правой линии поэтому волновое сопротивление отрезка равно корню квадратному из произведения волновых сопротивлений каскадно включаемых линий:

Четверть и полуволновые отрезки длинных линий применяются в теории и практике волновых аналоговых фильтров, рассматриваемых в лекции 45.

1. Электротехника
2. Основы теории цепей

• ЭДС и напряжение в электрической цепи
• Закон Ома для участка цепи
• Электрическое сопротивление
• Закон Ома для замкнутой цепи
• Операторные передаточные функции
• Свободные колебания в пассивных электрических цепях
• Цепи с распределёнными параметрами
• Волновые параметры длинной линии

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Волновые параметры длинной линии

Полученные в предыдущей лекции уравнения передачи длинной линии (23.8) описывают комплексные амплитуды напряжения

Тогда для мгновенных значений напряжений и токов в линии получаем:

(24.1)

где — аргументы комплексных величин

Решения (24.1) подтверждают, что напряжения и токи в длинной.линии являются функциями как времени , так и координаты (расстояния) . Каждое из уравнений представляет собой сумму двух слагаемых, структуры которых тождественны, но отличаются только знаками перед коэффициентами затухания и фазы Сначала рассмотрим левые слагаемые уравнений (24.1)

напряжений и токов, которые назовём падающими волнами напряжения и тока (смысл такого названия будет ясен из дальнейшего):

(24.2)

Из этих выражений следует:

• при любом фиксированном т. е. в любом сечении линии, и напряжение и ток являются гармоническими колебаниями;
• амплитуды колебаний убывают по мере удаления от начала к концу линии по экспоненциальному закону
• в любом сечении линии отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока равно модулю волнового сопротивления а разность фаз между ними равна аргументу волнового сопротивления линии;
• колебание напряжения или тока в сечении отстаёт по фазе от колебания и или поскольку коэффициент фазы является величиной положительной:

Сказанное демонстрируется на рис. 24.1, где представлено графическое распределение мгновенных значений напряжений по линии для трёх последовательных моментов времени: Эти графики можно рассматривать как последовательные мгновенные снимки картины распределения напряжений в указанные моменты времени. Они отображают волну, распространяющуюся от начала линии к концу. Например, рассматривая графики в моменты и , замечаем, что в момент фаза напряжения в каждой точке линии изменится на величину Огибающая процесса изображена пунктиром. Аналогичная картина имеет место и для тока.

Определение:

Совокупность волн напряжения и тока называется падающей волной.

Найдём длину и скорость распространения падающей волны в линии.

Под длиной волны понимают расстояние между смежными сечениями линии, фаза колебаний волны на которых отличается на (рис. 24.1):

откуда имеем равенство

из которого получаем формулу для вычисления длины волны:

(24.3)

Определение:

Скоростью распространения, или фазовой скоростью, называют скорость с которой распространяется в линии состояние равной фазы волны; например, скорость, с которой перемещается вдоль линии нуль напряжения или тока.

Нуль напряжения достигается в точках, где функция косинуса равна нулю, поэтому условие состояния равной фазы можно записать в виде равенства:

при этом аргумент имеет значения:

Продифференцировав обе части полученного равенства по переменной t, найдём скорость распространения нуля

(24.4)

т. е. скорость распространения состояния равной фазы.

Фазовая скорость показывает, какое расстояние проходит точка в единицу времени (см. рис. 24.1), и равна отношению частоты колебания к коэффициенту фазы.

Рассмотрим, чему будет равен коэффициент фазы в наиболее характерной для практики области частот, когда для чего разложим коэффициент распространения на вещественную и мнимую части:

Разложение в ряды полученных в правой части биномиальных сомножителей и удержание в разложениях лишь по два слагаемых даёт:

Раскрывая скобки и пренебрегая в произведении величиной второго порядка малости, получаем приближённое выражение для коэффициента распространения:

(24.5)

В линиях с хорошим диэлектриком проводимость чрезвычайно мала, поэтому второе вещественное слагаемое в выражении (24.5) оказывается очень малым по сравнению с первым, что позволяет записать формулы для коэффициентов затухания и фазы с хорошей степенью приближения:

(24.6)

Тогда в указанной выше области частот фазовая скорость (24.4) согласно (24.6) оказывается равной

Подставляя сюда формулы значений первичных параметров длинной линии L и С (табл. 23.1), получаем:

(24.7)

где с — скорость света.

Из (24.7) ясно, что для воздушных линий поскольку в этом случае можно считать . Для коаксиального кабеля, у которого всегда , фазовая скорость меньше скорости света в вакууме (например, при типовом значении имеем с).

Интересно, что в области низких частот значение фазовой скорости убывает с уменьшением частоты. Это объясняется меньшим проявлением скин-эффекта: волна больше проникает в проводник, и колеблющиеся частицы внутри проводника возбуждают вторичные волны. Поскольку частицы обладают некоторой инерцией, образуемые ими вторичные волны запаздывают по фазе относительно вынуждающей колебания волны, поэтому происходит запаздывание фазы результирующей волны и, как следствие, уменьшение фазовой скорости.

Обратимся теперь ко вторым слагаемым уравнений (24.1), которые назовём отражёнными волнами напряжения и тока:

(24.8)

Проведя анализ этих слагаемых подобно тому, как это сделано для падающих волн, нетрудно убедиться, что они описывают затухающую волну такого же характера, как и падающая, но распространяющуюся в обратном направлении: от конца к началу линии.

Определение:

Волна напряжения и тока распространяющаяся от конца к началу линии, называется отражённой волной.

Соотношения между комплексными амплитудами падающих и отражённых волн

Из анализа, выполненного в разд. 24.1, следует:

• фазовая скорость отражённой волны совпадает с точностью до знака с фазовой скоростью падающей волны

• амплитуда напряжения (тока) отражённой волны максимальна в конце амплитуда напряжения (тока) падающей волны минимальна в конце линии;
• напряжение (ток) в любой точке длинной линии х является суммой напряжений (токов) падающей и отражённой волн:

Переходя к комплексным амплитудам напряжений и токов падающей и отражённой волн, входящих в уравнения передачи длинной линии (23.8), последние суммы для любого сечения линии можно записать в виде:

(24.9)
Практический интерес представляют соотношения между комплексными амплитудами падающих и отражённых волн в линии, имеющей длину и нагруженной на комплексное сопротивление (рис. 24.2), когда на входе её действуют известные напряжение и ток .

Волновое сопротивление

Прежде всего отметим, что при любом jc, т. е. в любой точке линии согласно (24.9) справедливы равенства:

(24.10)

которое говорит о том, что в любом сечении линии .отношение комплексных амплитуд напряжения и тока падающей (отражённой) волны равно волновому сопротивлению линии

Свойства волнового сопротивления можно определить из выражений (24.10) и (23.6):

из которых следует:

модуль волнового сопротивления представляет собой отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока падающей (отражённой) волны;

фаза (угол) волнового сопротивления представляет собой разность между фазами напряжения и тока падающей (отражённой) волны;

на частоте фаза а само волновое сопротивление чисто активно

при стремлении частоты к бесконечности фаза и волновое сопротивление как и в предыдущем случае чисто активно

модуль волнового сопротивления | с увеличением частоты уменьшается, поскольку для реальных линий (рис. 24.3, а);

изменение фазы от нулевого значения при до нулевого значения при говорит о том, что на одной из частот фаза будет минимальна (рис. 24.3, б), поскольку на всех частотах она является отрицательной.

Коэффициент отражения

Что касается соотношения между комплексными амплитудами напряжения (тока) падающей и отражённой волн, то оно оказывается различным в различных сечениях линии. Установить эти соотношения можно из системы (23.8), положив при условии, что напряжение и ток в конце линии известны. При этих условиях из (23.7) находятся два уравнения относительно комплексных амплитуд напряжения тока :

(24.11)

Из системы (24.11) согласно правилу Крамера получаем значения постоянных и

Подстановка найденных значений i и в (24.9) приводит к частному решению:

(24.12)

Система уравнений (24.12) позволяет записать отношение комплексных амплитуд напряжений и токов отражённой и падающей волн в сечении линии, расположенном на расстоянии от её начала:

(24.13)

Но при выбранных направлениях отсчётов (рис. 24.2) напряжения и тока имеет место равенство поэтому из (24.13) окончательно получаем:

(24.14)

Определение:

(24.15)

комплексной амплитуды напряжения отражённой волны к комплексной амплитуде напряжения падающей волны называется коэффициентом отражения.

Анализ соотношений (24.14) и (24.15) приводит к следующим выводам:

1. Коэффициент отражения является комплексной величиной и полностью зависит от волнового сопротивления линии и сопротивления нагрузки .

2. Коэффициент отражения по току отличается от коэффициента отражения по напряжению только знаком.

3. При коэффициент отражения равен нулю р = 0, поэтому отражённая волна отсутствует. Линия, сопротивление нагрузки которой равно её волновому сопротивлению, называется нагруженной согласованно, а сопротивление нагрузки — согласованным сопротивлением. Любая другая нагрузка приводит к появлению в линии отражённой волны.

4. Отношение амплитуд отражённой и падающей волн (см. (24.14) и (24.15))

убывает с удалением от конца линии к её началу

5. В режиме короткого замыкания, когда коэффициент отражения по напряжению р = -1, а коэффициент отражения по току
р = 1. Это означает, что напряжения отражённой и падающей волн в конце линии находятся в противофазе:

а результирующее напряжение равно нулю

при этом токи падающей и отражённой волн оказываются в фазе

и результирующий ток равен удвоенному току падающей волны

6. В режиме холостого хода, когда коэффициент отражения по напряжению р = 1, поэтому имеет место ситуация, противоположная относительно вывода, указанного в п. 5: напряжения отражённой и падающей волн в конце линии находятся в фазе:

и результирующее напряжение равно удвоенному напряжению падающей волны

а ток равен нулю

Уравнения передачи согласованно нагруженной длинной линии

Ранее (см. разд. 23.3) были получены уравнения передачи длинной линии (23.8), которые представляют собой общее решение телеграфных уравнений и описывают закон распределения напряжений и токов по всей линии. Для решения же большинства практических задач достаточно знать соотношения лишь между напряжениями и токами на внешних зажимах линии и вовсе не интересоваться законом распределения напряжений и токов по длине линии. Иначе говоря, на практике вполне достаточно рассматривать линию как согласованно нагруженный четырёхполюсник, полностью описываемый соответствующими уравнениями передачи.

Поставим задачу найти уравнения передачи согласованно нагруженной линии, которые связывают комплексные амплитуды напряжений и токов на её внешних зажимах.

Воспользуемся уравнениями (24.12) для комплексных амплитуд напряжений и токов падающей и отражённой волн и подставим их в систему (24.9):

(24.16)

Если в систему (24.9) подставить выражения (24.14), получим

(24.17)

Системы (24.16) и (24.17) представляют собой системы уравнений передачи длинной линии. Обычно комплексные амплитуды напряжения и тока на входных зажимах линии (х = 0) обозначают через (см. рис. 24.2); при таких обозначениях из системы (24.16) получаем наиболее удобную форму записи уравнений передачи линии:

(24.18)

В большинстве случаев уравнения (24.8) записывают в более компактном виде:

(24.19)

где
— гиперболический косинус

— гиперболический синус.

Для режима согласованной нагрузки, когда и т. е. когда отсутствует отражённая волна, из (24.18) получаем уравнения передачи согласованно нагруженной линии:

(24.20)

Именно в такой режим и стремятся поставить линию связи, поскольку отражённые волны вызывают ряд нежелательных явлений, о чём речь пойдёт далее.

Постоянная передачи и частотные характеристики длинной линии

Постоянная передачи длинной линии:

Определение

Безразмерная комплексная величина, равная произведению коэффициента распространения на длину линии

(24.21)

называется постоянной передачи линии.

Вещественная часть постоянной передачи называется собственным, волновым или характеристическим затуханием линии, а мнимая часть — собственной, волновой или характеристической фазой.

Постоянная передачи и входящие в неё параметры характеризуют линию как таковую и не зависят от свойств генератора и нагрузки, между которыми линия может быть включена.

Поскольку режим согласованной нагрузки для линии является типовым, найдём указанные ранее параметры только для этого режима.

В таком случае постоянную передачи можно получить, прологарифмировав уравнения (24.20):

(24.22)

Подставляя отношения комплексных амплитуд

под знак логарифма, получаем:

на основании чего можно записать два равноправных выражения для коэффициента распространения

собственное затухание линии

(24.3)

и её собственную фазу

(24.24)

Из выражений (24.23) и (24.24) следует, что для согласованно нагруженной линии:

собственное затухание линии [Нп] равно натуральному логарифму отношения амплитуд или действующих значений напряжений (токов) на входе и выходе; оно равно также половине натурального логарифма отношения полных мощностей на входе и выходе;

собственная фаза линии равна разности начальных фаз колебаний напряжений (токов) на входе и выходе.

Собственное затухание линии часто оценивается в децибелах:

(24.25)

В этом случае нетрудно переформулировать зависимость собственного затухания, выраженного в децибелах, через десятичные логарифмы отношений амплитуд напряжений (токов) или полных мощностей.

Пример 24.1.

Оценим потери мощности телевизионного сигнала при распространении его в фидере’ от системы антенн до усилителя головной станции и в коаксиальном кабеле сети кабельного телевидения на отрезках магистральной линии между магистральными усилителями (рис. 24.4).

Решение. Затухание фидера зависит от его конструкции, длины и коэффициента затухания который измеряется на средней частоте частотного диапазона фидера. Обычный фидерный тракт имеет длину 50—150 м. Типовым кабелем, используемом при конструировании фидерных трактов, является кабель РК-75-24-51, имеющий полосу пропускания 50—600 МГц и коэффициент затухания = 0,002 дБ/м на частоте 300 МГц. Тогда при средней длине фидера = 100 его собственное затухание (24.25) оказывается равным

а отношение мощности сигнала на выходе фидера к мощности сигнала на входе фидера составляет

т. е. потери мощности в фидере невелики.

Фидер — линия для передачи электрических колебаний высокой частоты от радиопередатчика к антенне и от антенны к радиоприёмнику.

В то же время типовой магистральный коаксиальный кабель QR 540 JCA имеет полосу пропускания 5—1000 МГц и коэффициент затухания = 0,0354 дБ/м на частоте 300 МГц.

Расстояние между смежными усилителями магистрали обычно составляет до = 2 км. Следовательно, собственное затухание отрезка магистрального кабеля равно

Последнее означает, что полная мощность на входе последующего усилителя меньше полной мощности которая отдаётся в линию предшествующим усилителем, в десятки миллионов раз, поскольку согласно (24.25)

Частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) согласованно нагруженной длинной линии

Исходя из уравнений передачи согласованно нагруженной линии (24.20) запишем её комплексную частотную характеристику через постоянную передачи линии:

(24.26)

Отсюда нетрудно получить постоянную передачи через КЧХ линии:

(24.27)

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики определяются из (24.26):

(24.28)

Для несогласованной нагруженной линии КЧХ можно найти из её уравнений передачи (24.18), подставив в них равенства:

где и — комплексная амплитуда ЭДС и комплексное внутреннее сопротивление генератора, подключённого к линии.

Входное сопротивление длинной линии

Определение:

Входным сопротивлением линии называется отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока , действующих на входе линии.

Формулу входного сопротивления для линии с произвольной нагрузкой можно получить из уравнений (24.17), если положить расстояние и разделить первое уравнение на второе:

(24’29)

Анализ формулы (24.29) показывает:

при согласованной нагрузке входное сопротивление равно волновому, поскольку в данном случае (24.15);

если постоянная передачи линии стремится к бесконечности то входное и волновое сопротивления весьма близки по величине считают, что не зависит от нагрузки при собственном затухании линии Нп;

в режиме КЗ получаем

(24.30)

в режиме XX имеем

(24.31)

волновое сопротивление линии представляет собой предел, к которому стремится входное сопротивление при безграничном увеличении длины линии:

Этот факт объясняется тем, что при большом затухании линии значительная часть мощности, подводимой к её входу, рассеивается в самой линии и лишь небольшой остаток мощности поступает в нагрузку (см. пример 24.1). По этой причине энергетические соотношения на входе линии пренебрежимо мало зависят от энергетических соотношений на её выходе и, в частности, от сопротивления нагрузки линии.

С увеличением длины линии увеличивается и её затухание, а потому уменьшается амплитуда отражённой волны на входе линии, что, в свою очередь, приводит к уменьшению отклонения входного сопротивления линии от её волнового сопротивления как по модулю, так и по фазе. В пределе входное сопротивление линии стремится к волновому сопротивлению. На рис. 24.5, а показаны зависимости модулей входных сопротивлений в режимах XX и КЗ. Колебательный характер волнового сопротивления при несогласованной нагрузке объясняется наличием падающих и отражённых волн.

Входное сопротивление зависит не только от длины линии, но и от частоты (рис. 24.5, б). С ростом частоты увеличиваются как собственное затухание так и собственная фаза линии. Это приводит к весьма сложному волнообразному характеру изменения входного сопротивления линии относительно её волнового сопротивления.

Допустимые отклонения входного сопротивления линии от её волнового сопротивления строго нормированы, и при эксплуатации длинных линий необходимо придерживаться указываемых для линии обычно весьма жёстких норм.

Определение параметров линии методом холостого хода и короткого замыкания

Определение первичных и вторичных параметров линии наиболее просто осуществлять с помощью измерений входного сопротивления линии при двух граничных сопротивлениях нагрузки: холостом ходе и коротком замыкании.

Из уравнений (24.19) в режимах имеем

Совместное решение этих уравнений позволяет найти значения волновых параметров линии: волнового сопротивления и постоянной передачи.

(24.32)

равно среднему геометрическому из входных сопротивлений короткозамкнутой и разомкнутой линии. Это выражение можно рассматривать как ещё одно определение волнового сопротивления длинной линии.

Гиперболический тангенс постоянной передачи

(24.33)

равен среднему геометрическому из сопротивления короткозамкнутой линии и проводимости — разомкнутой линии. Найдём из (24.33) постоянную передачи и коэффициент распространения Поскольку

Логарифмируя обе части последнего равенства, получаем постоянную передачи:

(24.34)

откуда легко находятся коэффициенты затухания и фазы:

Коэффициент равен целому числу волн, укладывающихся по длине линии.

Во всех формулах необходимо брать только арифметические корни.

Зная волновые параметры линии, нетрудно вычислить её первичные параметры путём приравнивания вещественных и мнимых частей равенств:

Метод холостого хода и короткого замыкания целесообразно применять в том случае, когда затухание линии не превышает
1 Нп (8,69 дБ), что характерно для большинства длинных линий.

1. Электротехника
2. Основы теории цепей

• Колебания в линиях без потерь
• ЭДС и напряжение в электрической цепи
• Закон Ома для участка цепи
• Электрическое сопротивление
• Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей
• Операторные передаточные функции
• Свободные колебания в пассивных электрических цепях
• Цепи с распределёнными параметрами

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.