Допускаемое напряжение на кручение

Допускаемые напряжения
и механические свойства материалов

Для определения допускаемых напряжений в машиностроении применяют следующие основные методы.
1. Дифференцированный запас прочности находят как произведение ряда частных коэффициентов, учитывающих надежность материала, степень ответственности детали, точность расчетных формул и действующие силы и другие факторы, определяющие условия работы деталей.
2. Табличный — допускаемые напряжения принимают по нормам, систематизированным в виде таблиц
(табл. 1 — 7). Этот метод менее точен, но наиболее прост и удобен для практического пользования при проектировочных и проверочных прочностных расчетах.

В работе конструкторских бюро и при расчетах деталей машин применяются как дифференцированный, так и. табличный методы, а также их комбинация. В табл. 4 — 6 приведены допускаемые напряжения для нетиповых литых деталей, на которые не разработаны специальные методы расчета и соответствующие им допускаемые напряжения. Типовые детали (например, зубчатые и червячные колеса, шкивы) следует рассчитывать по методикам, приводимым в соответствующем разделе справочника или специальной литературе.

Приведенные допускаемые напряжения предназначены для приближенных расчетов только на основные нагрузки. Для более точных расчетов с учетом дополнительных нагрузок (например, динамических) табличные значения следует увеличивать на 20 — 30 %.

Допускаемые напряжения даны без учета концентрации напряжений и размеров детали, вычислены для стальных гладких полированных образцов диаметром 6-12 мм и для необработанных круглых чугунных отливок диаметром 30 мм. При определении наибольших напряжений в рассчитываемой детали нужно номинальные напряжения σ_ном и τ_ном умножать на коэффициент концентрации k_σ или k_τ:

1. Допускаемые напряжения*
для углеродистых сталей обыкновенного качества в горячекатаном состоянии

Марка
стали

Допускаемые напряжения **, МПа

при растяжении [σ_p]

при изгибе [σ_из]

при кручении [τ_кр]

при срезе [τ_ср]

при смятии [σ_см]

III

Ст2
Ст3
Ст4
Ст5
Ст6

115
125
140
165
195

80
90
95
115
140

60
70
75
90
110

140
150
170
200
230

100
110
120
140
170

80
85
95
110
135

85
95
105
125
145

65
65
75
80
105

50
50
60
70
80

70
75
85
100
115

50
50
65
65
85

40
40
50
55
65

175
190
210
250
290

120
135
145
175
210

* Горский А.И.. Иванов-Емин Е. Б.. Кареновский А. И. Определение допускаемых напряжений при расчетах на прочность. НИИмаш, М., 1974.
** Римскими цифрами обозначен вид нагрузки: I — статическая; II — переменная, действующая от нуля до максимума, от максимума до нуля (пульсирующая); III — знакопеременная (симметричная).

2. Механические свойства и допускаемые напряжения
углеродистых качественных конструкционных сталей

3. Механические свойства и допускаемые напряжения
легированных конструкционных сталей

4. Механические свойства и допускаемые напряжения
для отливок из углеродистых и легированных сталей

5. Механические свойства и допускаемые напряжения
для отливок из серого чугуна

6. Механические свойства и допускаемые напряжения
для отливок из ковкого чугуна

7. Допускаемые напряжения для пластмассовых деталей

Для пластичных (незакаленных) сталей при статических напряжениях (I вид нагрузки) коэффициент концентрации не учитывают. Для однородных сталей (σ_в > 1300 МПа, а также в случае работы их при низких температурах) коэффициент концентрации, при наличии концентрации напряжения, вводят в расчет и при нагрузках I вида (k > 1). Для пластичных сталей при действии переменных нагрузок и при наличии концентрации напряжений эти напряжения необходимо учитывать.

Для чугунов в большинстве случаев коэффициент концентрации напряжений приближенно принимают равным единице при всех видах нагрузок (I — III). При расчетах на прочность для учета размеров детали приведенные табличные допускаемые напряжения для литых деталей следует умножать на коэффициент масштабного фактора, равный 1,4 . 5.

Приближенные эмпирические зависимости пределов выносливости для случаев нагружения с симметричным циклом:

Механические свойства и допускаемые напряжения антифрикционного чугуна:
— предел прочности при изгибе 250 ÷ 300 МПа,
— допускаемые напряжения при изгибе: 95 МПа для I; 70 МПа — II: 45 МПа — III, где I. II, III — обозначения видов нагрузки, см. табл. 1.

Ориентировочные допускаемые напряжения для цветных металлов на растяжение и сжатие. МПа:
— 30. 110 — для меди;
— 60. 130 — латуни;
— 50. 110 — бронзы;
— 25. 70 — алюминия;
— 70. 140 — дюралюминия.

Выбор допускаемых напряжений на кручение

Проектный расчёт валов редуктора выполняют только по напряжениям кручения (как при чистом кручении), то есть при этом не учитывают напряжений изгиба, концентрации напряжений и переменность напряжений во времени (циклы напряжений). Для компенсации этого значения допускаемых напряжений на кручение выбирают заниженными в пределах [τ]_кр = 10. 30 МПа. Меньшие значения [τ]_кр для быстроходных валов, большие значения [τ]_кр для тихоходных валов.

Для редукторных валов рекомендуется принимать: [τ]_кр = 10-15 МПа – для быстроходных валов; [τ]_кр = 15-25 МПа – для тихоходных валов.

Определение размеров ступеней валов

Редукторный вал представляет собой ступенчатое цилиндрическое тело, количество и размеры ступеней которого зависят от количества и размеров установленных на вал деталей. На рис. 1 приведены типовые конструкции валов одноступенчатых редукторов: а – быстроходный – цилиндрического; б – быстроходный – конического; в – тихоходный (l₃ * — в коническом редукторе).

Проектный расчёт ставит целью определить ориентировочно геометрические размеры каждой ступени вала: её диаметр d и длину l.

Расчет ведется по формуле:

где T – вращающий момент, н·мм.

Рассчитанное значение d должно соответствовать диаметру самого тонкого участка вала (на рис.1 это размер d₁). Полученное значение d необходимо увеличить на 5-7% в случае размещения на этом участке вала шпоночного или прессового соединения. Следует помнить, что диаметр вала d должен быть округлен в большую сторону до стандартного значения.

После этого разрабатывается конструкция вала, обеспечивающая технологичность изготовления и сборки.

Размеры концевого участка вала d₁ и l₁ определяют по ГОСТ 12080-66 или ГОСТ 12081-72 (цилиндрический или конический конец вала соответственно). Рекомендуется принимать исполнение 1 (длинный конец вала).

Диаметры последующих участков определяют с учетом высоты заплечика t на каждом участке вала. Величина t должна быть достаточной для создания надежного упора, но не чрезмерной, так как это ведет к неоправданному увеличению массы вала. Длины участков вала определяются по прорисовке, в зависимости от размеров размещенных на валу деталей.

Значения высоты t заплечика (буртика) и f величины фаски ступицы колеса и координаты фаски r_max подшипника можно определить в зависимости от диаметра ступени d по следующей таблице:

d	17. 24	25. 30	32. 40	42. 50	52. 60	62. 70	71. 85
t	3,5	3,5	4,0	4,5	4,6	5,6
r_max	1,5	2,0	2,5	3,0	3,0	3,5	3,5
f	1.2	1.6	2,5

Диаметры d₂ и d₄ под подшипник округлить до ближайшего стандартного диаметра внутреннего кольца подшипника d_п.

Диаметры ступеней (кроме d₂ и d₄) округлить до ближайшего стандартного значения из ряда Ra40 (ГОСТ 6636-39).

Рис. 1 Типовые конструкции валов одноступенчатых редукторов: а – быстроходный – цилиндрического; б – быстроходный – конического; в – тихоходный

Предварительный выбор подшипников качения

В редукторах, как правило, опоры валов выполняются в виде подшипников качения. В курсовых проектах рекомендуется принимать подшипники качения серийно выпускаемые отечественной промышленностью.

Выбор наиболее рационального типа подшипника для данных условий работы редуктора весьма сложен и зависит от целого ряда факторов: передаваемой мощности редуктора, типа передачи, соотношения сил в зацеплении, частоты вращения внутреннего кольца подшипника, требуемого срока службы, приемлемой стоимости, схемы установки.

Предварительный выбор подшипников для каждого из валов редуктора проводят в следующем порядке:

1. В соответствии с рекомендациями табл. 2 определяют тип, серию и схему установки подшипников.

На первом этапе рекомендуется после определения диаметра вала под подшипники назначить по данному диаметру шарикоподшипники лёгкой или средней серии. В большинстве заданий на курсовое проектирование они проходят в дальнейших расчётах. Исключение составляют опоры вала червяка червячного редуктора, где лучше сразу назначить роликовые конические подшипники лёгкой серии в связи со значительными осевыми нагрузками.

2. По справочнику-каталогу выбирают типоразмер подшипников по величине диаметра внутреннего кольца подшипника, равного диаметру d₂ и d₄ ступеней вала под подшипники.

3. По выбранному из каталога типоразмеру определяют основные параметры подшипников: геометрические размеры d, D, B(T,С); динамическую С_r и статическую С_r грузоподъёмности. Здесь D диаметр наружного кольца подшипника, В ширина шарикоподшипника; T и С осевые размеры конического роликоподшипника.

Таблица 4.2. Предварительный выбор подшипников

Пере-дача	Вид	Тип подшипника	Серия	Угол контакта	Схема установки
цилиндрическая косозубая	Б	радиальные шариковые однорядные при a_w ≥ 200 мм	средняя (лёгкая)	0°	с одной фиксир. опорой
Т	при F_a / F_R 0,25 –роликовые конические типа 7000	лёгкая	α = 12. 16°
коническая	Б	роликовые конические типа 7000 при n₁ ≤ 1500 об/мин	лёгкая (средняя)	= 12. 16°	врастяжку
радиально-упорные шариковые типа 46000 при n₁ ≥ 1500 об/мин	α = 25. 29°
Т	роликовые конические типа 7000 или 1027000	лёгкая	α= 29° для типа 1027000	враспор

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Валы и оси

Конструкции машин содержат множество вращающихся деталей и узлов, работающих в различных условиях. Так, детали двигателей, редукторов, воздушные и корабельные винты, колеса автомобилей и шасси самолета движутся с большими угловыми скоростями, испытывая значительные динамические нагрузки и подвергаясь в некоторых случаях интенсивному нагреву.

Для поддержания вращающихся деталей и для передачи вращающего момента от одной детали к другой (в осевом направлении) в конструкциях используют детали, называемые валами (рис. 3.1, а – г).

Рис. 3.1. Эскизы валов и осей

В зависимости от вида испытываемой деформации условно различают:
— простые валы – работают в условиях кручения, изгиба, как, например, вал воздушного винта самолета, нагруженный силой веса винта и вращающим моментом, или вал привода агрегатов двигателя, несущий зубчатые колеса. Зубчатые колеса могут быть насажены на вал или изготовлены с ним как одно целое;
— торсионные валы – работают лишь в условиях кручения, т.е. передают только вращающий момент (валы приводов управления закрылками ВС);
— оси – поддерживающие невращающиеся валы, работающие лишь в условиях изгиба. Например, оси тормозных колес шасси, оси роликов тросовой системы управления, оси шарнирных соединений стоек шасси, элеронов, рулей, управляемых стабилизаторов не вращаются.
По геометрической форме валы бывают прямыми (рис. 3.1, б), коленчатыми (рис. 3.1, в) (в поршневых двигателях и компрессорах) гибкими (рис. 3.1, г), а оси только прямыми (рис. 3.1, а). Гибкие валы дают возможность передавать вращение с изменяющейся геометрией оси, их используют в переносных механизированных инструментах, в приборах и др.
В зависимости от расположения, быстроходности и назначения валы называют входными, промежуточными, выходными, тихо- или быстроходными, распределительными и т.п.

Конструктивные элементы. Опорные части валов, воспринимающие радиальные нагрузки (рис. 3.2, а), называют цапфами, а воспринимающие осевые нагрузки (рис. 3.2, б) – пятами. Концевые цапфы называют шипами (в подшипниках скольжения), а промежуточные – шейками. Шипы чаще всего бывают цилиндрическими (рис. 3.2, а), а также коническими и сферическими (рис. 3.2, в, г).

Рис. 3.2. Опорные части валов

Прямой вал ступенчатой формы более удобен для монтажа деталей и по профилю приближается к брусу равного сопротивления. Переход от одной ступени к другой может осуществляться канавкой для выхода шлифовального круга (рис. 3.3, а), однако это приводит к повышению концентрации напряжений, галтелью (рис. 3.3, б, в) – плавным переходом по дуге с постоянным или переменным радиусом (в этом случае снижается концентрация напряжений и повышается прочность вала).

Рис. 3.3. Переходные участки вала

Закрепление деталей на валах от осевого перемещения осуществляют с помощью буртиков (рис. 3.4, а), гаек (рис. 3.4, б), посадки с натягом (рис. 3.4, в), пружинных колец (рис. 3.4, г). Передачу вращающего момента осуществляют за счет устройства шпоночных, шлицевых и других соединений валов.

Рис. 3.4. Крепление деталей на валах

Оси и валы авиационных конструкций – пустотелые. Канал уменьшает массу вала, кроме того, в ряде случаев через полый вал проходят детали системы смазки или управления.
Технические условия на изготовление валов зависят от требований к конструкции. Наиболее жесткие требования по точности и шероховатости поверхности предъявляются к шейкам валов, на которые устанавливают подшипники качения.

Материалы валов.

Для изготовления валов используют углеродистые стали марок 20, 30, 40, 45 и 50, легированные стали марок 20Х, 40Х, 40ХН, 18Х2Н4МА и др., титановые сплавы ВТ3-1, ВТ6 и ВТ9.
Выбор материала, термической и химико-термической обработки определяется конструкцией вала и опор, условиями эксплуатации.

Расчет валов и осей

Валы и оси рассчитывают на прочность, жесткость и колебания. Основной причиной выхода из строя валов является недостаточная их прочность при длительной работе, усталостное разрушение металла.
Нагрузки на валы создают силы и вращающие моменты, действующие в зубчатых, червячных, цепных и других передачах. Расчет ведут по наибольшей из длительно действующих нагрузок.
Проектирование вала включает три этапа: предварительное определение размеров, разработку конструкции и проверочный расчет.
При проектном расчете приближенно определяют из условия прочности при кручении диаметр вала и проводят его конструирование. Проверочный расчет ведут на статическую прочность вала и усталость материала, а при повышенных требованиях – на жесткость и колебания.

Расчет валов на прочность.

В предварительном (проектном) расчете при отсутствии данных об изгибающих моментах диаметр вала может быть найден по известному значению крутящего момента из условия прочности по сниженным допускаемым напряжениям:

где Т – крутящий момент в расчетном сечении вала;
[τK] – допускаемое напряжение на кручение, [τK] = 20…25 МПа под шкив, звездочку или муфту; для средних участков вала [τK] = 10…20 МПа;
Р – передаваемая мощность, кВт;
n – частота вращения вала, об./мин.
После определения расчетного диаметра вала определяют диаметры других ступеней, изменяя их на 2…5 мм. Независимо от результатов расчета диаметр выходного конца вала может быть принят равным 0,8…1,2 диаметра вала электродвигателя, с которым он будет соединен муфтой.
Наименьший диаметр промежуточного вала принимают обычно равным внутреннему диаметру подшипника.

Расчет валов на статическую прочность

Расчет ведут по наибольшей возможной кратковременной нагрузке, повторяемость которой мала и не может вызвать усталостного разрушения.
Валы работают в условиях изгиба и кручения, эквивалентное напряжение

где σ и τ – наибольшие напряжения от изгибающего момента Мх и крутящего момента Т
; ,

где WX и Wρ – соответственно осевой и полярный момент сопротивления сечения вала диаметром d, WX = 0,1d3; Wρ = 0,2d3, а т.к. Wρ = 2WX, то с учетом этих соотношений можно записать.

Запас прочности по пределу текучести.

Обычно принимают допускаемый запас прочности [nT] = 1,2…1,8.
Полагают, что имеет место симметричный цикл напряжений при изгибе вала и отнулевой цикл напряжений при его кручении.
Сопротивление материала детали усталости может быть повышено за счет ее поверхностного упрочнения: поверхностной закалки, обкатки роликом, наклепом.

Кручение (деформация)

Кручением называется такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T.

Брусья, испытывающие кручение, принято называть валами.

Внутренний крутящий момент

Внутренние скручивающие моменты появляются под действием внешних крутящих моментов m_i, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси бруса.

Скручивающие моменты передаются на вал в местах посадки зубчатых колес, шкивов ременных передач и т.п.

Величина крутящего момента в любом сечении вала определяется методом сечений:

т.е. крутящий момент численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов m_i, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков внутренних скручивающих моментов:
Положительными принимаются внутренние моменты, стремящиеся повернуть рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки, при рассмотрении со стороны отброшенной части вала.

В технике наиболее широко используются валы круглого поперечного сечения.

Теория кручения круглых валов основана на следующих гипотезах:

поперечное сечение, плоское до деформации вала, остается плоским и после деформации;
радиусы, проведенные мысленно в любом поперечном сечении, в процессе деформации вала не искривляются.

Напряжения при кручении

В поперечных сечениях вала при кручении имеют место только касательные напряжения.
Касательные напряжения, направленные перпендикулярно к радиусам, для произвольной точки, отстоящей на расстоянии ρ от центра, вычисляются по формуле:

где I_ρ — полярный момент инерции.
Эпюра касательных напряжений при кручении имеет следующий вид:

Касательные напряжения меняются по линейному закону и достигают максимального значения на контуре сечения при ρ= ρ_max:

Здесь:

— полярный момент сопротивления.
Геометрические характеристики сечений:
а) для полого вала:

б) для вала сплошного сечения (c=0)

в) для тонкостенной трубы (t 0,9)

где

— радиус срединной поверхности трубы.

Деформации

Деформации валов при кручении заключаются в повороте одного сечения относительно другого.

Угол закручивания вала на длине Z определяется по формуле:

Если крутящий момент и величина GI_ρ, называемая жесткостью поперечного сечения при кручении, постоянны, для участка вала длиной l имеем:

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания:

Расчет валов сводится к одновременному выполнению двух условий:

условию прочности:
условию жесткости:

Для стальных валов принимается:

допускаемое касательное напряжение
допускаемый относительный угол закручивания

Используя условия прочности и жесткости, как и при растяжении – сжатии можно решать три типа задач:

проверочный расчет, заключающийся в проверке выполнения условий прочности и жесткости при известных значениях крутящего момента, размеров и материала вала.
Проектировочный расчет, при котором вычисляются диаметры:

при этом берется большее из найденных значений, а затем принимается стандартное значение по ГОСТ.
Определение грузоподъемности вала:
- из условия прочности
- из условия жесткости

При кручении, наряду с касательными напряжениями в поперечных сечениях, в соответствии с законом парности, касательные напряжения возникают и в продольных сечениях. Таким образом, во всех точках вала имеет место чистый сдвиг.

Главные напряжения σ₁ = τ, σ₃ = -τ наклонены под углом α=±45 о к образующей.

Потенциальная энергия упругой деформации определяется по формуле

или для участка вала при постоянном T и GI_ρ

Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,

Кручением называется такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T.

Брусья, испытывающие кручение, принято называть валами.

Внутренний крутящий момент

Внутренние скручивающие моменты появляются под действием внешних крутящих моментов mi, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси бруса.

Скручивающие моменты передаются на вал в местах посадки зубчатых колес, шкивов ременных передач и т.п.

Величина крутящего момента в любом сечении вала определяется методом сечений:

т.е. крутящий момент численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов mi, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков внутренних скручивающих моментов:
Положительными принимаются внутренние моменты, стремящиеся повернуть рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки, при рассмотрении со стороны отброшенной части вала.
В технике наиболее широко используются валы круглого поперечного сечения.
Теория кручения круглых валов основана на следующих гипотезах:

поперечное сечение, плоское до деформации вала, остается плоским и после деформации;
радиусы, проведенные мысленно в любом поперечном сечении, в процессе деформации вала не искривляются.

Напряжения при кручении

где Iρ — полярный момент инерции.
Эпюра касательных напряжений при кручении имеет следующий вид:

Касательные напряжения меняются по линейному закону и достигают максимального значения на контуре сечения при ρ= ρmax:

Здесь:

— полярный момент сопротивления.

Геометрические характеристики сечений:

а) для полого вала:

б) для вала сплошного сечения (c=0)
в) для тонкостенной трубы (t

Тема 2.5. Кручение. Напряжения и деформации при кручении

Иметь представление о напряжении и деформациях при кручении, о моменте сопротивления при кручении.
Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении.
Напряжения при кручении

Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, образовавшийся на поверхности после деформации (рис. 27.1а).

Поперечные окружности, оставаясь плоскими, поворачиваются на угол (р, продольные линии искривляются, прямоугольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформации.

При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипотезы плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечений.

При кручении возникает напряженное состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 27.1б).

При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникают касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1 г).

Закон Гука при сдвиге

G — модуль упругости при сдвиге, Н/мм2; γ — угол сдвига, рад.

Напряжение в любой точке поперечного сечения

Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис. 27.2).

где τ — касательное напряжение; dA — элементарная площадка.

В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары (см. лекцию 26).

Элементарный момент силы dQ относительно центра круга

где ρ— расстояние от точки до центра круга.

Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интегрированием) элементарных моментов:

После преобразования получим формулу для определения напряжений в точке поперечного сечения:

При ρ = 0 τк = 0; касательное напряжение при кручении пропорционально расстоянию от точки до центра сечения.

Полученный интеграл Jv (лекция 25) называется полярным моментом инерции сечения. Jv является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию.

Анализ полученной формулы для Jv показывает, что слои, расположенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.

Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27.3)

Мк — крутящий момент в сечении;
рв — расстояние от точки В до центра;
тв — напряжение в точке В]
ттах — максимальное напряжение.
Максимальные напряжения при кручении
Из формулы для определения напряжений и эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что максимальные напряжения возникают на поверхности.
Определим максимальное напряжение, учитывая, что ρтах = d/2, где d — диаметр бруса круглого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывается по формуле (см. лекцию 25).

Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем

Обычно JP/pmax обозначают Wp и называют моментом сопротивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения
Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу
Для круглого сечения
Для кольцевого сечения
Условие прочности при кручении
Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности
где [τк] — допускаемое напряжение кручения.
Виды расчетов на прочность
Существует два вида расчета на прочность.
1. Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:
Откуда
2. Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности
3. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)
Расчет на жесткость

При расчете на жесткость определяется деформация и сравнивается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).

При кручении деформация оценивается углом закручивания (см. лекцию 26):
Здесь φ — угол закручивания; γ — угол сдвига; l — длина бруса; R — радиус; R =d/2. Откуда
Закон Гука имеет вид τк = Gγ. Подставим выражение для γ, получим
Откуда
Произведение GJP называют жесткостью сечения.

Модуль упругости можно определить как G = 0,4Е. Для стали G = 0,8 • 105 МПа.

Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала) φo.
Условие жесткости при кручении можно записать в виде
где φo — относительный угол закручивания, φо = φ/l; [φо] ≈ 1град/м = 0,02рад/м — допускаемый относительный угол закручивания.
Примеры решения задач

Пример 1. Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала — сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания [φо] = 0,02рад/м; модуль упругости при сдвиге G = 0,8 * 105 МПа.

Решение

1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность.

Условие прочности при кручении:
Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:
Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении
Значения подставляем в ньютонах и мм.
Определяем диаметр вала:

2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость.

Условие жесткости при кручении:
Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:
Определяем диаметр вала:

3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.

Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.

Полученное значение следует округлить, используя ряд предпочтительных чисел. Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение dвала = 75 мм.

Для определения диаметра вала желательно пользоваться стандартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.

Пример 2. В поперечном сечении бруса d = 80 мм наибольшее касательное напряжение τтах = 40 Н/мм2. Определить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 20 мм.

Решение

Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, б. Очевидно,

Пример 3. В точках внутреннего контура поперечного сечения трубы (d0 = 60 мм; d = 80 мм) возникают касательные напряжения, равные 40 Н/мм2. Определить максимальные касательные напряжения, возникающие в трубе.

Решение

Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, в. Очевидно,

Пример 4. В кольцевом поперечном сечении бруса (d0 = 30 мм; d = 70 мм) возникает крутящий момент Мz = 3 кН-м. Вычислить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 27 мм.

Решение
Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вычисляется по формуле
В рассматриваемом примере Мz = 3 кН-м = 3-106 Н• мм,
Подставляя числовые значения, получаем

Пример 5. Стальная труба (d0 = l00 мм; d = 120 мм) длиной l = 1,8 м закручивается моментами т, приложенными в ее торцевых сечениях. Определить величину т, при которой угол закручивания φ = 0,25°. При найденном значении т вычислить максимальные касательные напряжения.

Решение
Угол закручивания (в град/м) для одного участка вычисляется по формуле
тогда
В данном случае
Подставляя числовые значения, получаем
Вычисляем максимальные касательные напряжения:

Пример 6. Для заданного бруса (рис. 2.38, а) построить эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжений, углов поворота поперечных сечений.

Решение

Заданный брус имеет участки I, II, III, IV, V (рис. 2. 38, а). Напомним, что границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (скручивающие) моменты и места изменения размеров поперечного сечения.

Пользуясь соотношением
строим эпюру крутящих моментов.
Построение эпюры Мz начинаем со свободного конца бруса:
для участков III и IV
для участка V

Эпюра крутящих моментов представлена на рис, 2.38, б. Строим эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса. Условно приписываем τшах те же знаки, что и соответствующим крутящим моментам. На участке I

Эпюра максимальных касательных напряжений показана на рис. 2.38, в.

Угол поворота поперечного сечения бруса при постоянных (в пределах каждого участка) диаметре сечения и крутящем моменте определяется по формуле

Читайте также: Водонагреватель на дровах своими руками

Строим эпюру углов поворота поперечных сечений. Угол поворота сечения А φл = 0, так как в этом сечении брус закреплен.

Эпюра углов поворота поперечных сечений изображена на рис. 2.38, г.

Пример 7. На шкив В ступенчатого вала (рис. 2.

39, а) передается от двигателя мощность NB = 36 кВт, шкивы А и С соответственно передают на станки мощности NA = 15 кВт и NC = 21 кВт.

Частота вращения вала п = 300 об/мин. Проверить прочность и жесткость вала, если [τKJ = 30 Н/мм2, [Θ] = 0,3 град/м, G = 8,0-104 Н/мм2, d1 = 45 мм, d2 = 50 мм.

Решение
Вычислим внешние (скручивающие) моменты, приложенные к валу:
где

Строим эпюру крутящих моментов. При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем момент, соответствующий NА, положительным, Nc — отрицательным. Эпюра Mz показана на рис. 2.39, б. Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка АВ

что меньше [тк] на
Относительный угол закручивания участка АВ
что значительно больше [Θ] ==0,3 град/м.
Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка ВС
что меньше [тк] на
Относительный угол закручивания участка ВС
что значительно больше [Θ] = 0,3 град/м.
Следовательно, прочность вала обеспечена, а жесткость — нет.

Пример 8. От электродвигателя с помощью ремня на вал 1 передается мощность N = 20 кВт, С вала 1 поступает на вал 2 мощность N1 = 15 кВт и к рабочим машинам — мощности N2 = 2 кВт и N3 = 3 кВт. С вала 2 к рабочим машинам поступают мощности N4 = 7 кВт, N5 = 4 кВт, N6 = 4 кВт (рис. 2.

40, а). Определить диаметры валов d1 и d2 из условия прочности и жесткости, если [τKJ = 25 Н/мм2, [Θ] = 0,25 град/м, G = 8,0-104 Н/мм2. Сечения валов 1 и 2 считать по всей длине постоянными. Частота вращения вала электродвигателя п = 970 об/мин, диаметры шкивов D1 = 200 мм, D2 = 400 мм, D3 = 200 мм, D4 = 600 мм.

Скольжением в ременной передаче пренебречь.

Решение

Нарис. 2.40, б изображен вал I. На него поступает мощность N и с него снимаются мощности Nl, N2, N3.

Определим угловую скорость вращения вала 1 и внешние скручивающие моменты m, m1, т2, т3:

Строим эпюру крутящих моментов для вала 1 (рис. 2.40, в). При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем моменты, соответствующие N3 и N1, положительными, а N — отрицательным. Расчетный (максимальный) крутящий момент Nx1 max = 354,5 H*м.

Диаметр вала 1 из условия прочности
Диаметр вала 1 из условия жесткости ([Θ], рад/мм)
Окончательно принимаем с округлением до стандартного значения d1 = 58 мм.
Частота вращения вала 2

На рис. 2.40, г изображен вал 2; на вал поступает мощность N1, а снимаются с него мощности N4, N5, N6.

Вычислим внешние скручивающие моменты:

Эпюра крутящих моментов для вала 2 показана на рис. 2.40, д. Расчетный (максимальный) крутящий момент Мя max» = 470 H-м.

Диаметр вала 2 из условия прочности
Диаметр вала 2 из условия жесткости
Окончательно принимаем d2=62 мм.

Пример 9. Определить из условий прочности и жесткости мощность N (рис. 2.41, а), которую может передать стальной вал диаметром d = 50 мм, если [тк] = 35 Н/мм2, [ΘJ = 0,9 град/м; G = 8,0* I04 Н/мм2, n = 600 об/мин.

Решение
Вычислим внешние моменты, приложенные к валу:
где

Расчетная схема вала показана на рис. 2.41, б.

На рис. 2.41, в представлена эпюра крутящих моментов. Расчетный (максимальный) крутящий момент Mz = 9,54N. Условие прочности

откуда
Условие жесткости
откуда

Лимитирующим является условие жесткости. Следовательно, допускаемое значение передаваемой мощности [N] = 82,3 кВт.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Деформация кручения — напряжение, определение, примеры, формула,

Брусья, испытывающие кручение, принято называть валами.

Внутренний крутящий момент

Скручивающие моменты передаются на вал в местах посадки зубчатых колес, шкивов ременных передач и т.п.

Величина крутящего момента в любом сечении вала определяется методом сечений:

Правило знаков внутренних скручивающих моментов:
Положительными принимаются внутренние моменты, стремящиеся повернуть рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки, при рассмотрении со стороны отброшенной части вала.
В технике наиболее широко используются валы круглого поперечного сечения.
Теория кручения круглых валов основана на следующих гипотезах:

поперечное сечение, плоское до деформации вала, остается плоским и после деформации;
радиусы, проведенные мысленно в любом поперечном сечении, в процессе деформации вала не искривляются.

Сдвиг

Сдвигом называют такую деформацию твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости сдвига, не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу (рис. 3).

Деформация сдвига возникает под действием сил, приложенных к двум противоположным граням тела так, как показано на рисунках 3; 4. Эти силы вызывают смещение слоев тела, параллельных направлению сил. Расстояние между слоями не изменяется. Любой прямоугольный параллелепипед, мысленно выделенный в теле, превращается в наклонный.

Мерой деформации сдвига является угол сдвига γ — угол наклона вертикальных граней (рис. 5).

Сдвиг происходит под действием касательной силы F, приложенной к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань АД, параллельная ВС, закреплена неподвижно.

Так как угол мал, формулу можно записать в виде:

где СС1 = D X — абсолютный сдвиг, γ — угол сдвига, называемый также относительным сдвигом, выражается в радианах.

По закону Гука относительный сдвиг γ пропорционален касательному напряжению τ = F/S, где S — площадь поверхности грани ВС, т.е.

τ = F / S = Gg
где G — модуль сдвига.
Закон Гука для малой деформации сдвига выражается формулой:

Коэффициент G, зависящий от материала тела, называется модулем сдвига и характеризует упругие свойства тела при деформации сдвига. Например, для стального образца G = 76 ГПа.

Модуль сдвига равен касательному напряжению, которое возникло бы в образце при относительном сдвиге, равном 1 (при условии, что закон Гука выполняется).

Деформацию сдвига испытывают, например, заклепки и болты, соединяющие металлические конструкции. Сдвиг при больших углах приводит к разрушению тела — срезу. Срез происходит при работе ножниц, пилы и др.

Обратите внимание на принципиальное отличие модуля кручения от модуля сдвига, который зависит только от материала. Модуль кручения зависит не только от материала, но ещё и от диаметра и от длины цилиндра.

Дата добавления: 2015-04-01; 8147; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных |

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Это интересно: Деформация изгиба — определение, формула, примеры

Напряжения при кручении

где Iρ — полярный момент инерции. Эпюра касательных напряжений при кручении имеет следующий вид: Касательные напряжения меняются по линейному закону и достигают максимального значения на контуре сечения при ρ= ρmax: Здесь: — полярный момент сопротивления. Геометрические характеристики сечений: а) для полого вала:

— радиус срединной поверхности трубы.

б) для вала сплошного сечения (c=0) в) для тонкостенной трубы (t0,9) где

Напряжения при кручении

Распределение касательных напряжений при кручении

Вращающийся стержень, работающий на кручение, называют валом. Стержень, используемый как упругий элемент, который работает на скручивание, называется торсионом. Касательные напряжения , возникающие в условиях кручения, определяются по формуле:

,
где r — расстояние от оси кручения.
Очевидно, что касательные напряжения достигают наибольшего значения на поверхности вала при и при максимальном крутящем моменте , то есть
,
где Wp — полярный момент сопротивления.
Это даёт возможность записать условие прочности при кручении в таком виде:
.
Используя это условие, можно или по известным силовым факторам, которые создают крутящий момент Т, найти полярный момент сопротивления и далее, в зависимости от той или иной формы, найти размеры сечения, или наоборот — зная размеры сечения, можно вычислить наибольшую величину крутящего момента, которую можно допустить в сечении, которое в свою очередь, позволит найти допустимые величины внешних нагрузок.

Деформация, все формулы и примеры

Деформация появляется в том случае, если разные части тела совершают разные перемещения. Так, например, если резиновый шнур тянуть за концы, то разные его части сместятся относительно друг друга, и шнур окажется деформированным (растянется, удлинится). При деформации изменяются расстояния между атомами или молекулами тел, поэтому появляются силы упругости.

Виды деформации твердого тела

Деформации можно разделить на упругие и неупругие. Упругой называют деформацию, которая исчезает при прекращении действия деформирующего воздействия. При таком виде деформации происходит возврат частиц из новых положений равновесия в кристаллической решетке в старые.

Читайте также: Изготовление корпусной мебели своими руками

Неупругие деформации твердого тела называют пластическими. При пластической деформации происходит необратимая перестройка кристаллической решетки.

Кроме этого выделяют следующие виды деформации: растяжение (сжатие); сдвиг, кручение.

Одностороннее растяжение заключается в увеличении длины тела, при воздействии силы растяжения. Мерой такого вида деформации служит величина относительного удлинения ().

Деформация всестороннего растяжения (сжатия) проявляется в изменении (увеличении или уменьшении) объема тела. При этом форма тела не изменяется. Растягивающие (сжимающие) силы равномерно распределяются по всей поверхности тела. Характеристикой, такого вида деформации, является относительное изменение объема тела ().

Сдвиг – это вид деформации, при которой плоские слои твердого тела смещены параллельно друг другу. При этом виде деформации слои не изменяют свою форму и размер. Мерой данной деформации служит угол сдвига.

Деформация кручения состоит в относительном повороте параллельных друг другу сечений, перпендикулярных оси образца.

В теории упругости доказано, что все виды упругой деформации могут сводиться к деформациям растяжения или сжатия, которые происходят в один момент времени.

Закон Гука

Рассмотрим однородный стержень, имеющий длину l и площадь сечения S. К концам стержня приложены две силы равные по величине F, направленные по оси стержня, но в противоположные стороны. При этом длина стержня изменилась на величину .

Английским ученым Р. Гуком эмпирически было установлено, что для небольших деформаций относительное удлинение () прямо пропорционально напряжению ():
где E – модуль Юнга; – сила, которая действует на единичную площадь поперечного сечения проводника. Иначе закон Гука записывают как:
где k – коэффициент упругости. Для силы упругости, возникающей в стержне закон Гука имеет вид:

Линейная зависимость между и выполняется в узких пределах, при небольших нагрузках. При увеличении нагрузки зависимость становится нелинейной, а далее упругая деформация переходит в пластическую деформацию.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

28.Напряжения при кручении (вывод формулы)

В
поперечном сечении бруса возникают
только касательные напряжения от
крутящего момента, определяемые по
формуле (6.1). Их направление в каждой
точке перпендикулярно радиусу,
соединяющему эту точку с центром сечения
(рис. 6.1). В центре (при ρ = 0)
касательные напряжения равны нулю; в
точках же, расположенных в непосредственной
близости от внешней поверхности бруса,
они наибольшие.

где
– крутящий момент в рассматриваемом
сечении;– полярный момент инерции круглого
поперечного сечения;К
– расстояние от центра тяжести сечения
до рассматриваемой точки К (рис. 6.1).

Наибольшие
касательные напряжения в поперечных
сечениях определяются по формуле:

Введем
следующее обозначение:

где
–
называется полярным моментом сопротивления
поперечного сечения (см3,
м3);

BjRH/img-yKHVE6.png» width=»37″>– расстояние от центра тяжести до
наиболее удаленной точки сечения, оно
равняется радиусу круга

Условие
прочности при кручении
запишется:

где
RS
– расчетное сопротивление материала
при сдвиге.

29.Определение перемещений при кручении

30.Практические расчёты на кручение

Условие
прочности бруса при кручении заключается
в том, что наибольшее касательное
напряжение, возникающее в нем, не должно
превышать предельно допустимое. При
этом расчетная формула на прочность
имеет вид:
τmax
= Мкр / Wr ≤ [τкр],
где
[τкр] — предельное допускаемое напряжение.
При
практических расчетах, определяя
предельные допускаемые напряжения для
различных материалов, используют
зависимость между напряжениями при
растяжении и напряжениями при кручении,
которая для стали и чугуна имеет вид:

для
стали — [τкр] = 0,55….0,6 [σр]

для
чугуна — [τкр] = 1,0….1,2 [σр])

(здесь
[σр] — справочная или определяемая
экспериментально величина, (предельное
допустимое напряжение растяжения)
характеризующая материал бруса (вала).

Кроме
требования прочности к валам предъявляются
требования жесткости, которое заключается
в том, что угол закручивания участка
вала длиной 1 м не должен превышать
предельной величины, определяемой
требованиями конструкции. Допускаемый
угол закручивания 1 м длины вала задается
в градусах и обозначается [φ0°].

Расчетная
формула на жесткость при кручении имеет
вид:

φ0°=
180 Мкр / (пGIr) ≤ [φ0°]

В
реальных механизмах обычно допускаются
углы закручивания валов в пределах
[φ0°]
= 0,25…1 градус/м.

31.Изгиб. Внутренние усилия при изгибе. Разновидности изгиба. Виды балок

Под
изгибом понимается такой вид нагружения,
при котором в поперечных сечениях бруса
возникают изгибающие моменты Mx
или
My .
Если изгибающий момент в сечении является
единственным силовым фактором, то
изгиб называется чистым
(рис. 5.1, а).

В
тех случаях, когда в поперечных сечениях
бруса наряду с изгибающим моментом
возникают и поперечные силы изгиб
называется поперечным.
Брус, работающий в основном на изгиб,
часто называют балкой.

В дальнейшем будем рассматривать такие
случаи изгиба балки, при которых,
вопервых,
поперечное сечение балки имеет хотя бы
одну ось симметрии, и, вовторых,
вся нагрузка лежит в плоскости,
совпадающей с осью симметрии балки.

Таким образом, одна из главных осей
инерции лежит в плоскости изгиба, а
другая перпендикулярна ей.

Для
того, чтобы правильно ориентироваться
в вопросах, связанных с расчетом
бруса на изгиб, необходимо прежде всего
научиться определять законы изменения
внутренних силовых факторов, т.е.
научиться строить эпюры изгибающих
моментов и поперечных сил.

Предварительно
рассмотрим три основных типа опорных
связей балки с основанием:

1. Шарнирноподвижная
опора (рис. 5.1, б  левая
опора балки), ограничивающая лишь
вертикальное перемещение опорного
узла.

2. Шарнирнонеподвижная
опора (рис. 5.1, б  правая
опора балки), ограничивающая вертикальное
и горизонтальное перемещения опоры.

3. Жесткая
заделка (рис. 5.1, а  опора
балки на левом краю), не допускающая
поворота и перемещений по вертикали и
горизонтали сечения балки, примыкающего
к опоре.

По
запрещенным направлениям во всех этих
типах опор возникают соответствующие
реакции.

Закрепленные
опорами балки имеют следующие названия:

а)
однопролетная или двухопорная (рис.
1.9);

б)
консоль (рис.1.10);

в) консольная балка (рис. 1.11)

Рис. 1.9

Рис. 1.10

Рис.1.11

Кручение (деформация) — это… Что такое Кручение (деформация)?

Пример деформации кручения цилиндрического стержня

Деформация стержня прямоугольного сечения при кручении

Круче́ние — один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил (момента) в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент. На кручение работают пружины растяжения-сжатия и валы.

При деформации кручения смещение каждой точки тела перпендикулярно к её расстоянию от оси приложенных сил и пропорционально этому расстоянию.

Угол закручивания цилиндрического стержня в границах упругих деформаций под действием момента T может быть определён из уравнения закона Гука для случая кручения

— геометрический полярный момент инерции;
— длина стержня;
G — модуль сдвига.

Отношение угла закручивания φ к длине называют относительным углом закручивания

Деформация кручения является частным случаем деформации сдвига.

Напряжения при кручении

Распределение касательных напряжений при кручении

Вращающийся стержень, работающий на кручение называют валом. Стержень, используемый как упругий элемент, который работает на скручивание, называется торсионом. Касательные напряжения , возникающие в условиях кручения, определяются по формуле:

где r — расстояние от оси кручения.

Очевидно, что касательные напряжения достигают наибольшего значения на поверхности вала при и при максимальном крутящем моменте , то есть

где Wp — полярный момент сопротивления.

Это даёт возможность записать условие прочности при кручении в таком виде:

Используя это условие, можно или по известным силовым факторам, которые создают крутящий момент Т, найти полярный момент сопротивления и далее, в зависимости от той или иной формы, найти размеры сечения, или наоборот — зная размеры сечения, можно вычислить наибольшую величину крутящего момента, которую можно допустить в сечении, которое в свою очередь, позволит найти допустимые величины внешних нагрузок.

Напряжения и деформации при кручении валов. Расчеты на прочность и жесткость

Если на поверхность вала круглого сечения нанести прямоугольную сетку, то после деформации окажется (рис. 5.4), что:

1) прямоугольная сетка превратилась в параллелограммную, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечных сечениях;

2) расстояние между поперечными сечениями, например между I и II, нс изменяется. Нс изменяются длина стержня и его диаметр, т.е. каждое поперечное сечение поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое (гипотеза плоских и жестких сечений).

Из нагруженного тела выделим элемент, ограниченный двумя смежными сечениями I и II радиусом р в виде диска толщиной dz (рис. 5.5).

У поверхности элемента рассмотрим элементарный прямоугольник abed.
В результате действия внешнего момента Т выделенный элементарный прямоугольник испытывает деформацию сдвига, при этом будет аа — аа
абсолютный сдвиг и-= tgy = у — относительный сдвиг (угол сдвига).
dz

Из рис. 5.5 следует, что аа — рс/ф = у ? dz, тогда

где с/ф — угол закручивания; dz — длина элемента.

Рис. 5.4. Деформация стержня круглого сечения: й-до нагружения; б — после нагружения

Рис. 5.5. Выделенный элемент в виде диска

В соответствии с законом Гука при сдвиге можно записать

Из выражения (5.2) следует, что касательные напряжения по сечению изменяются линейно от нуля в центре сечения до максимальных у поверхности бруса (рис. 5.6).

Подставив в выражение (5.1) значение X из (5.2), получим Имея в виду, что

Рис. 5.6. Распределение касательных напряжений по сечению

с/ф
Подставив значение- в формулу (5.2), имеем
dz

Читайте также: Принцип работы металлоискателя для поиска цветного металла

Как видно из этой формулы, в точках, одинаково удаленных от центра сечения, напряжения X одинаковы.

Наибольшие напряжения в точках у контура сечения определяются по формуле

/„
гДе Ртах =r>Wp=~-Г
Геомстрическая характеристика Wpназывается полярным моментом сопротивления, или моментом сопротивления при кручении.
Для круглого сплошного сечения

Для кольцевого сечения где с = d / D.

Условие статической прочности вала при кручении имеет вид

Здесь Tadm — допускаемое касательное напряжение, равное

Полный угол поворота ф одного сечения относительно другого, отстоящего от него на расстоянии /, получим, интегрируя выражение , Tdz

шр = в пределах от 0 до ф и от 0 до /:

Произведение GIр называется жесткостью бруса при кручении.

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания. Он равен

Для обеспечения требуемой жесткости вала необходимо, чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосходил допускаемого, т.е.

Проверка прочности и жесткости валов при кручении производится по формулам (5.3) и (5.4).

Кроме проверки прочности по формуле (5.3), для круглого сечения можно определить диаметр вала

или допускаемый крутящий момент 7^dm = Wp’ZdLdm.

Из условия жесткости диаметр вала сплошного круглого сечения

Напряжения и деформации при кручении стержней кругового поперечного сечения (Лекция №22)

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент Мz. Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. Нормальные силы, параллельные оси Oz, вклада в крутящий момент не вносят.

С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил — касательные напряжения и ) Мz связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия статики (рис. 1)

Условимся считать Mz положительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным против часовой стрелки (рис. 2). Это правило проиллюстрировано на рис. 1 и в указанном соотношении, где крутящий момент Мz принят положительным. Численно крутящий момент равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Ог.

Рис.1. Связь крутящего момента с касательными напряжениями

Рис.2. Иллюстрация положительного и отрицательного крутящего момента

Рассмотрим кручение призматических стержней кругового поперечного сечения. Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис. 3) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этого стержня:

поперечные сечения остаются плоскими (выполняется гипотеза Бернулли);
контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это означает, что поперечные сечения ведут себя как жесткие круговые пластинки, поворачивающиеся при деформировании относительно оси стержня Ог. Отсюда следует, что любые деформации в плоскости пластинки равны нулю, в том числе и ;
материал стержня подчиняется закону Гука. Учитывая, что , из обобщенного закона Гука в форме получаем . Это означает, что в поперечных сечениях, стержня возникают лишь касательные напряжения , а вследствие закона парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Следовательно напряженное состояние стержня — чистый сдвиг.

Рис.3. Иллюстрация кручения: а) исходное и б) деформированное состояния

Выведем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения.

Как видно, поворот правого торцевого сечения относительно неподвижного левого на угол (назовем его углом закручивания стержня) вызывает поворот продольных волокон на угол (угол сдвига), поскольку на величину искажаются углы ортогональной сетки продольных и поперечных рисок модели.

Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и, поскольку нас интересуют деформации элемента, левое сечение его будем считать неподвижным (рис. 5).

При повороте правого сечения на угол в соответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов, правый конец волокна АВ (отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса ) будет перемещаться по дуге BB1, вызывая поворот волокна на угол сдвига

Обратим внимание на то, что в соответствии с рис. 5 и рис. 6, а сдвиг и связанное с ним касательное напряжение перпендикулярны радиусу . Определим , воспользовавшись законом Гука для чистого сдвига

Рис.5. Расчетная модель определения касательных напряжений

а) ортогональность и

Рис.6. Распределение касательных напряжений при кручении:

Здесь — погонный угол закручивания стержня, который остается пока неизвестным. Для его нахождения обратимся к условию статики, записав его в более удобной для данного случая форме (рис. 6, a)

Подставляя (1) в (2) и учитывая, что
где Jp—; полярный момент инерции поперечного сечения (для круга с диаметром d ), получаем

Рис.7. Распределение напряжений для кольцевого сечения

а) разрушение дерева, б) разрушение чугуна

Рис.8. Распределение исходных касательных и главных напряжений:

Подставляя выражение (3) в (1), получаем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения

Как видно из (4), сдвиги и касательные напряжения пропорциональны расстояний от оси стержня. Обратим внимание на структурные аналогии формул для нормальных напряжений чистого изгиба и касательных напряжений кручения.

Мерой деформации стержня при кручении является погонный угол закручивания стержня, определяемый по (3). Поскольку величина DJp стоит в знаменателе формулы и при заданной нагрузке (Mz через нее выражается) тем меньше, чем больше DJp, последнюю называют жесткостью поперечного сечения при кручении.

Пользуясь (3) для определения угла закручивания элемента длиной dz
найдем полный угол закручивания стержня длиной l

В случае, если по длине стержня Мz и DJp постоянны, получаем
когда эти величины кусочно-постоянны, то:

Отметим, что полученные формулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении стержня.

Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при

где Wр — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления
.
Полярный момент сопротивления, стоящий в знаменателе для максимальных касательных напряжений, очевидно, является геометрической характеристикой сечения, а условие прочности стержня при кручении принимает вид

где — допускаемое напряжение на кручение.

Как показали эксперименты и точное решение этой задачи в теории упругости, все гипотезы, сформулированные ранее для стержня со сплошным круговым сечением, остаются справедливыми и для стержня кольцевого поперечного сечения (рис. 7). Поэтому все выведенные ранее формулы пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той лишь разницей, что полярный момент инерции определяется как разность моментов инерции кругов с диаметрами D и d

где , а момент сопротивления определяется по формуле

Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу (рис. 7) и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признать наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы.

Как отмечено ранее, напряженное состояние при кручении стержня — чистый сдвиг, являющийся частным случаем плоского напряженного состояния.

На площадках, совпадающих с плоскостью поперечного сечения и на парных им площадках продольных сечений возникают экстремальные касательные напряжения max-min , а главные напряжения действуют на площадках, наклоненных.коси стержня под углами ; главное напряжение .

Особенности напряженного состояния при кручении нашли отражение в характере разрушения стержней.

Так, разрушение стержня из дерева, плохо работающего на скалывание вдоль волокон, происходит от продольных трещин (рис. 8, a).

Разрушение стержня из хрупкого металла (например, чугуна) происходит по винтовой линии, наклоненной к образующим под углом 45o, т. е. по траектории главного напряжения (рис. 8,б).

РАСЧЕТ ВАЛОВ

Рассмотрим расчет вала на прочность и жесткость. Пусть известна мощность W (кВт), передаваемая вращающимся с заданным числом оборотов в минуту (n) валом от источника мощности (например, двигателя) к ее потребителю (например, станку), а момент т, передаваемый валом, требуется найти, так как численно равный этому моменту крутящий момент необходим для расчета вала.

Если число оборотов вала в минуту п и соответствующая угловая скорость (с-1) постоянны, а Ф — угол поворота вала в данный момент времени t, то работа вращательного движения А=тФ. Тогда передаваемая валом мощность будет равна
Отсюда
кНм,
где учтено, что .

Если мощность подается на вал через ведущий шкив, а раздается потребителям через несколько ведомых шкивов, то соответственно определяются моменты на шкивах, а затем строится эпюра крутящих моментов. Расчет вала на прочность и жесткость ведется, очевидно, по max Mz.

Определение диаметра вала из условия прочности.

Условие прочности при кручении вала имеет вид (7), где допускаемые напряжения принимаются пониженными по сравнению с допускаемыми напряжениями обычного статического расчета в связи с необходимостью учета наличия концентраторов напряжений (например, шпоночных канавок), переменного характера нагрузки и наличия наряду с кручением и изгиба вала.

Требуемое значение Wp=dз/16 получаем из условия (7), принимая в нем знак равенства
,
откуда получаем формулу для диаметра вала кругового сечения

Определение диаметра вала из условия жесткости. Условие жесткости состоит в наложении ограничения на погонный угол закручивания вала , так как недостаточно жесткие валы не обеспечивают устойчивой передачи мощности и подвержены сильным колебаниям:

Тогда, учитывая, что , для диаметра вала из условия жесткости имеем

Аналогично проводятся расчеты и для вала кольцевого поперечного сечения.

источники:

https://plastep.ru/dopuskaemye-napryazheniya-krucheniya-dlya-valov/

https://isopromat.ru/sopromat/teoria/kruchenie

https://nzmetallspb.ru/benzoinstrument/deformatsiya-krucheniya-napryazhenie-opredelenie-primery-formula.html

Допускаемое напряжение на кручение

Допускаемые напряженияи механические свойства материалов

Выбор допускаемых напряжений на кручение

Валы и оси

Материалы валов.

Расчет валов и осей

Расчет валов на прочность.

Расчет валов на статическую прочность

Кручение (деформация)

Внутренний крутящий момент

Напряжения при кручении

Деформации

Деформация кручения: напряжение, определение, примеры, формула,

Внутренний крутящий момент

Напряжения при кручении

Тема 2.5. Кручение. Напряжения и деформации при кручении

Деформация кручения — напряжение, определение, примеры, формула,

Внутренний крутящий момент

Сдвиг

Напряжения при кручении

Напряжения при кручении

Деформация, все формулы и примеры

Виды деформации твердого тела

Закон Гука

Примеры решения задач

28.Напряжения при кручении (вывод формулы)

29.Определение перемещений при кручении

30.Практические расчёты на кручение

31.Изгиб. Внутренние усилия при изгибе. Разновидности изгиба. Виды балок

Кручение (деформация) — это… Что такое Кручение (деформация)?

Напряжения при кручении

Напряжения и деформации при кручении валов. Расчеты на прочность и жесткость

Напряжения и деформации при кручении стержней кругового поперечного сечения (Лекция №22)

Допускаемые напряжения
и механические свойства материалов