Как найти напряжение всей цепи

Расчет простых цепей постоянного тока

В электротехнике принято считать, что простая цепь – это цепь, которая сводится к цепи с одним источником и одним эквивалентным сопротивлением. Свернуть цепь можно с помощью эквивалентных преобразований последовательного, параллельного и смешанного соединений. Исключением служат цепи, содержащие более сложные соединения звездой и треугольником. Расчет цепей постоянного тока производится с помощью закона Ома и Кирхгофа.

Пример 1

Два резистора подключены к источнику постоянного напряжения 50 В, с внутренним сопротивлением r= 0,5 Ом. Сопротивления резисторов R₁ = 20 и R₂ = 32 Ом. Определить ток в цепи и напряжения на резисторах.

Так как резисторы подключены последовательно, эквивалентное сопротивление будет равно их сумме. Зная его, воспользуемся законом Ома для полной цепи, чтобы найти ток в цепи.

Теперь зная ток в цепи, можно определить падения напряжений на каждом из резисторов.

Проверить правильность решения можно несколькими способами. Например, с помощью закона Кирхгофа, который гласит, что сумма ЭДС в контуре равна сумме напряжений в нем.

Но с помощью закона Кирхгофа удобно проверять простые цепи, имеющие один контур. Более удобным способом проверки является баланс мощностей.

В цепи должен соблюдаться баланс мощностей, то есть энергия отданная источниками должна быть равна энергии полученной приемниками.

Мощность источника определяется как произведение ЭДС на ток, а мощность полученная приемником как произведение падения напряжения на ток.

Преимущество проверки балансом мощностей в том, что не нужно составлять сложных громоздких уравнений на основании законов Кирхгофа, достаточно знать ЭДС, напряжения и токи в цепи.

Пример 2

Общий ток цепи, содержащей два соединенных параллельно резистора R₁=70 Ом и R₂=90 Ом, равен 500 мА. Определить токи в каждом из резисторов.

Два последовательно соединенных резистора ничто иное, как делитель тока. Определить токи, протекающие через каждый резистор можно с помощью формулы делителя, при этом напряжение в цепи нам не нужно знать, потребуется лишь общий ток и сопротивления резисторов.

Токи в резисторах

В данном случае удобно проверить задачу с помощью первого закона Кирхгофа, согласно которому сумма токов сходящихся, в узле равна нулю.

Если у вас возникли затруднения, прочтите статью законы Кирхгофа.

Если вы не помните формулу делителя тока, то можно решить задачу другим способом. Для этого необходимо найти напряжение в цепи, которое будет общим для обоих резисторов, так как соединение параллельное. Для того чтобы его найти, нужно сначала рассчитать сопротивление цепи

А затем напряжение

Зная напряжения, найдем токи, протекающие через резисторы

Как видите, токи получились теми же.

Пример 3

В электрической цепи, изображенной на схеме R₁=50 Ом, R₂=180 Ом, R₃=220 Ом. Найти мощность, выделяемую на резисторе R₁, ток через резистор R₂, напряжение на резисторе R₃, если известно, что напряжение на зажимах цепи 100 В.

Чтобы рассчитать мощность постоянного тока, выделяемую на резисторе R₁, необходимо определить ток I₁, который является общим для всей цепи. Зная напряжение на зажимах и эквивалентное сопротивление цепи, можно его найти.

Эквивалентное сопротивление и ток в цепи

Отсюда мощность, выделяемая на R ₁

Ток I₂ определим с помощью формулы делителя тока, учитывая, что ток I₁ для этого делителя является общим

Так как, напряжение при параллельном соединении резисторов одинаковое, найдем U₃, как напряжение на резисторе R₂

Таким образом производится расчет простых цепей постоянного тока.

Электрические цепи постоянного тока

Основная цель расчета электрической цепи заключается в определении токов в ее ветвях. Зная токи, нетрудно найти напряжения и мощности ветвей и отдельных элементов цепи.

Величины токов, напряжений, мощностей дают возможность оценить условия и эффективность работы электротехнического оборудования и приборов во всех участках электрической цепи.

Связь между э.д.с., напряжениями и токами линейных электрических цепей выражается линейными уравнениями, т. е. уравнениями первой степени, поэтому для расчета их применяются аналитические методы с обычными алгебраическими преобразованиями.

Законы Кирхгофа

Для расчета электрических цепей наряду с законом Ома применяются два закона Кирхгофа, являющиеся следствиями закона сохранения энергии.

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрических цепей:
в ветвях, образующих узел электрической цепи, алгебраическая сумма токов равна нулю:

В эту сумму токи входят с разными знаками в зависимости от направления их по отношению к узлу. На основании первого закона Кирхгофа для каждого узла можно составить уравнение токов. Например, для точки 3 схемы рис. 3.16 такое уравнение имеет вид
I₁ + I₂ — I₄ — I₇ = 0.
В этом уравнении токи, направленные к узлу, условно взяты положительными, а токи, направленные от узла, — отрицательными:
I₁ + I₂ = I₄ + I₇. (4.2)

Уравнение (4.2) позволяет дать другую формулировку первого закона Кирхгофа:
сумма токов, направленных к узлу электрической цепи, равна сумме токов, направленных от этого узла.

Этот закон следует из принципа непрерывности тока. Если допустить преобладание в узле токов одного направления, то заряд одного знака должен накапливаться, а потенциал узловой точки непрерывно изменяться, что в реальных цепях не наблюдается.

Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрических цепей:
в контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на его ветвях равна нулю:

Для доказательства второго закона Кирхгофа обойдем контур 1-2-3-4-5-6-1 в схеме рис. 3.16 по часовой стрелке и запишем выражения потенциалов точек контура при указанных направлениях токов в ветвях (выбраны произвольно). Обход начнем от точки 1, потенциал которой V₁. Потенциал каждой последующей точки выразим относительно точки предыдущей: V₂ = V₁ + Е₁; V₃ = V₂ — I₁R₁; V₄ = V₃ — I₄R₄; V₅ = V₄ — E₃; V₆ = V₅ + I₆R₆; V₁ = V₆ — I₃R₃.
Изменение потенциала по выбранному контуру должно быть равно нулю, так как оно выражает работу, затраченную на перемещение частиц, обладающих вместе единицей заряда, по замкнутому пути в электрических полях источников и приемников энергии. Таким образом, в замкнутом контуре

или

В этом уравнении напряжения ветвей

поэтому

В уравнении (4.4) напряжения, направленные по обходу контура, считаются положительными, а направленные против обхода — отрицательными.
Уравнение (4.4) перепишем в следующем виде:

Уравнение (4.5) позволяет дать другую формулировку второго закона Кирхгофа:
в контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжения на пассивных элементах равна алгебраической сумме э. д. с. этого контура:

Другим контурам соответствуют другие уравнения, которые нетрудно написать, не прибегая к выражениям потенциалов точек контура.

Для этого можно пользоваться следующим правилом. В левую часть уравнения следует записать алгебраическую сумму падений напряжения в пассивных элементах контура, а в правую—алгебраическую сумму э.д.с., встречающихся при обходе контура.

При этом положительными считаются токи и э. д. с., направление которых совпадает с направлением обхода.
Согласно этому правилу, запишем уравнения для двух других контуров схемы, представленной на рис. 3.16:
для 1-2-3-6-1

для 3-4-6-3

Неразветвленная электрическая цепь

Элементы неразветвленной электрической цепи соединены между собой последовательно.

Отличительной особенностью последовательного соединения является то, что электрический ток во всех участках цепи один и тот же.

Общий случай последовательного соединения

Рассмотрим общий случай последовательного соединения источников и приемников электрической энергии (рис. 4.1), пренебрегая внутренними сопротивлениями источников. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа, произвольно задавшись направлением тока в цепи и направлением обхода контура (например, по часовой стрелке):

Ток в цепи

При обходе контура видно, что относительно направления обхода э. д. с. Е₁ и Е₃ направлены одинаково, т. е. согласно, а э. д. с. Е₂ — им навстречу.
Ток в цепи определяется действием всех трех э.д.с., и при заданных направлениях э. д. с. и тока нетрудно установить, что элементы с э. д. с. E₁ и Е₃ вырабатывают электрическую энергию, а элемент с э. д. с. Е₂ ее потребляет. Если в качестве источников э. д. с. в данном случае предположить аккумуляторы, то источники Е₁ и Е₃ разряжаются, а источник Е₂ заряжается.
В элементах цепи, характеризующихся сопротивлениями R₁, R₂ и R₃, электрическая энергия преобразуется в тепловую. Рассматривая в качестве примера схему рис. 4.1, нетрудно убедиться в том, что второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии в применении его к контуру электрической цепи.

Рис. 4.1. Схема неразветвленной электрической цепи

Для этого достаточно умножить уравнение (4.7) на I, перенеся предварительно Е₂ в левую часть:

Получим уравнение баланса мощности — для рассматриваемой цепи: сумма мощностей источников электрической энергии равна сумме мощностей приемников.

Ток в цепи с последовательным соединением элементов (рис. 4.1) не изменится и баланс мощностей сохранится, если произвести перестановку элементов цепи, сгруппировав э. д. с. и сопротивления, как показано на рис. 4.2, а.

Рис. 4.2. Преобразование схемы неразветвленной электрической цепи

Последовательное соединение пассивных элементов

Участок цепи 4-5-6-1 представляет собой последовательное соединение резисторов. На рассматриваемом участке действует напряжение U, равное алгебраической сумме э. д. с. левой части схемы [см. правую часть уравнения (4.7)]. Это напряжение равно также сумме падений напряжения в правой части схемы [см. левую часть уравнения (4.7)].

Вынеся I за скобку, получим

или

Отношение U/I = R есть некоторое сопротивление, эквивалентное по своему действию всем трем сопротивлениям:

Это равенство позволяет на участке 4-5-6-1 три сопротивления заменить одним (эквивалентным) и получить более простую схему (рис. 4.2, б) при условии неизменности тока в цепи и сохранении того же баланса мощностей. Этот вывод можно распространить на любое число последовательно включенных пассивных элементов:

т. е. общее сопротивление неразветвленной цепи равно сумме сопротивлений ее участков.

Последовательное соединение источников э.д.с.

Участок 1-2-3-4 цепи на рис. 4.2, а представляет собой последовательное соединение источников э. д. с. Напряжение между точками 4-1
Последнее равенство позволяет на участке 1-2-3-4 три э. д. с. заменить одной (эквивалентной)

и получить более простую схему (рис. 4.2, в), в которой только одна (эквивалентная) э. д. с. Е.

Этот вывод можно распространить на любое число последовательно включенных источников. Если э. д. с. всех источников равны и направлены согласно, как это имеет место при включении аккумуляторных элементов в батарее, то общая э. д. с. может быть определена по формуле

где Е_n — э. д. с. одного элемента; n — число элементов в батарее.

Согласно составленной эквивалентной схеме (рис. 4.2, в),

Потенциальная диаграмма

В схеме, представленной на рис. 4.1, при переходе от точки 1 к точке 2 потенциал повышается на величину Е₁, а при переходе от точки 2 к точке 3 — снижается на величину U_2.3 = IR₁. При переходе от точки 3 к точке 4 потенциал понижается на величину U_3.4 = —E₂.

Рис. 4.3. Потенциальная диаграмма электрической цепи

Изменение потенциалов в электрической цепи можно наглядно изобразить графически в виде потенциальной диаграммы.

Потенциальная диаграмма представляет собой график изменения потенциала при обходе цепи, построенный в прямоугольной системе координат, в которой по оси абсцисс откладываются в определенном масштабе сопротивления участков цепи, а по оси ординат — потенциалы соответствующих точек. Потенциальная диаграмма цепи, изображенной на рис. 4.1, показана на рис. 4.3.

Потенциалы точек цепи найдены согласно равенствам

причем потенциал точки 1 принят равным нулю.

Поскольку внутренние сопротивления источников э. д. с. приняты равными нулю, при переходе через эти элементы потенциалы изменяются скачком.

Задача 4.3.

Генератор постоянного тока, аккумуляторная батарея и два резистора с постоянным сопротивлением составляют неразветвленную цепь Э. д. с. генератора E_г = 120 В; внутреннее сопротивление r_г = 1,0 Ом, э. д. с. батареи Е_а = 72 В, внутреннее сопротивление r_а = 3 Ом, R₁ = 16 Ом, R₂ = 12 Ом.
Определить ток в цепи, составить баланс мощностей и построить потенциальную диаграмму цепи.
Решение. По условию задачи составлена схема (рис 4.4), из которой видно, что генератор и аккумуляторная батарея включены согласно: относительно произвольно выбранного направления обхода цепи обе э. д. с. направлены одинаково.

Рис. 4.4. К задаче 4.3

Эквивалентная э. д. с. цепи

Эквивалентное внутреннее сопротивление

Эквивалентное сопротивление нагрузки

Ток в цепи

Для составления баланса мощностей найдем мощность каждого элемента цепи:
генератора

потерь внутри генератора

потерь внутри аккумуляторной батареи

потребления в резисторе R₁

потребления в резисторе R₂

Баланс мощностей (общая мощность источников энергии равна суммарной мощности потребления)

Для построения потенциальной диаграммы найдем потенциалы точек цепи, полагая потенциал точки 1 V₁ = 0:

Потенциальная диаграмма показана на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Потенциальная диаграмма.

Разветвленная электрическая цепь с двумя узлами

Разветвленная электрическая цепь, как видно из названия, состоит из нескольких ветвей.

Ветви, присоединенные к одной паре узлов, включены параллельно (рис. 4.7, а). Отличительной особенностью параллельного соединения является то, что ко всем ветвям приложено одно и то же напряжение.

Рис. 4.7. Преобразование схемы с параллельным соединением приемников

Параллельное соединение пассивных элементов

Приемники электрической энергии, представленные на схеме рис.4. 7, а сопротивлениями R₁, R₂, R₃ и источник электрической энергии Е с внутренним сопротивлением r подключены к одной паре узлов (точки А и Б). Составим уравнение токов для узла А в соответствии с первым законом Кирхгофа:
Токи приемников можно выразить, используя напряжение между узлами и проводимости ветвей:

где


Разделим это уравнение на U:

Отношение UU есть проводимость G, соответствующая общему току цепи и общему напряжению:

Этот вывод можно распространить на любое число n параллельно соединенных приемников:

При параллельном соединении пассивных ветвей общая проводимость между двумя узлами равна сумме проводимостей всех ветвей.

Исходя из формул (4.13) и (4.14), можно заменить три проводимости (в общем случае n проводимостей) одной (эквивалентной) проводимостью GО и получить более простую схему (рис. 4.7, б).

Эквивалентное сопротивление при параллельном соединении нескольких ветвей определяется из равенства

Очень часто встречается параллельное соединение двух ветвей. В этом случае эквивалентное сопротивление определяется по формуле

Схема на рис. 4.7, б, полученная после замены трех проводимостей одной (эквивалентной), представляет собой простейшую схему электрической цепи.
Ток в этой схеме, равный току в неразветвленной части (рис. 4.7,а), определяется по формуле

Целью расчета электрической цепи является не только определение общего тока, но и тока в каждой ветви.

Если заданы э.д.с. и все сопротивления, то после определения общего тока по формуле (3.15) нужно определить напряжение между узловыми точками и токи в ветвях по закону Ома:

Параллельное соединение источников энергии

В практике часто встречаются случаи параллельного включения источников электрической энергии, работающих совместно на один или несколько приемников (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Преобразование схемы с параллельным соединением источников

В таких случаях определением токов в источниках решается важная задача распределения нагрузки между ними.

Представим источники энергии в схеме рис. 4.8, а эквивалентными схемами источников тока, а сопротивление приемника заменим проводимостью G (рис. 4.8, б):

где U = U_аб — напряжение между узловыми точками А и Б.

По первому закону Кирхгофа, для узла А

или

Это равенство дает основание три источника тока заменить одним (эквивалентным), а схему рис. 4.8, б заменить более простой (рис. 4.8, в). Эквивалентный источник тока характеризуется током короткого замыкания

и внутренней проводимостью

Для схемы рис. 4.8, в

Напряжение между узлами

Токи в ветвях можно определить по следующим формулам:

Из этих выражений следует, что источники с относительно большей э. д. с. и меньшим внутренним сопротивлением имеют больший ток, т. е. принимают на себя большую нагрузку. Если э. д. с. и внутренние сопротивления источников одинаковы, нагрузка между ними распределяется поровну.

Общий ток в этом случае определяется произведением тока одного источника I_n на число параллельно включенных источников:

Величина тока каждого источника ограничена его номинальным значением I_ном, сверх которого нагружать источник нельзя. Параллельное соединение источников применяется для увеличения общего тока, благодаря чему достигается увеличение мощности потребления энергии без изменения напряжения.

От схемы с эквивалентным источником тока можно перейти к схеме с эквивалентным источником э. д. с. (рис. 4.8, г), разделив уравнение (4.17) на g:

Так как l/g = r — внутреннее сопротивление эквивалентного источника э. д. с., то I_кr = Ir + U.
Но I_кr — Е — э. д. с. эквивалентного источника; Ir — падение напряжения во внутреннем сопротивлении, поэтому Е = U + Ir.

Рассматривается метод расчета разветвленных электрических цепей, предусматривающий замену всех источников э.д.с. одним (эквивалентным), который принято называть эквивалентным генератором.

Общий случай параллельного соединения источников и приемников электрической энергии

Выводы и формулы, полученные ранее, могут быть применены для расчета электрических цепей с двумя узловыми точками, между которыми содержится любое число параллельных ветвей с источниками и приемниками энергии, в том числе и такие ветви, которые имеют несколько элементов, соединенных последовательно (например, схема рис. 4.9).

Порядок расчета таких цепей, предусматривающий предварительное определение напряжения между узловыми точками, называется методом узлового напряжения.

Для применения этого метода должны быть заданы э.д.с. источников и проводимости ветвей (последние можно определить, если заданы сопротивления элементов каждой ветви).

Рис. 4.9. Схема с двумя узлами

В общем случае токи в ветвях и э. д. с. могут иметь различное направление, поэтому при определении узлового напряжения нужно взять алгебраическую сумму произведений ЕG и формула (4.18) примет вид

Знак э. д. с. устанавливается в соответствии с положительным направлением токов в ветвях, которое выбирается произвольно, но одинаково для всех ветвей (например, от Б к А).

Э. д. с. ветви считается положительной, если ее направление совпадает с положительным направлением тока. В противном случае э. д. с. подставляют со знаком минус в формулу (4.21) и также при определении токов по формулам (4.19).

Задача 4.8.

Для схемы, изображенной на рис. 4.7, а, известны: Е = 130 В, r = 0,5 Ом, R₁ = 30 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 12 Ом. Определить токи в схеме, мощность передачи энергии приемникам и к. п. д. источника.
Решение. Вначале определим эквивалентное сопротивление между точками А и Б:


Ток в неразветвленной части цепи

Для определения токов в параллельных ветвях между узловыми точками определим напряжение на зажимах источника, которое в данном случае равно напряжению на приемниках:

Проверим правильность определения токов по уравнению (4.1):

Мощность передачи энергии приемникам

К. п. д. источника

Задача 4.10.

Для схемы, изображенной на рис. 4.7, а, известны: R₁ = 10 Ом; R₂ = 15 Ом; R₃ = 6 Ом, r = 0,5 Ом, l₃ = 10 А. Определить токи в схеме, мощность и к. п. д. источника.
Решение. Используя данные условия, относящиеся к третьей ветви, определим напряжение между узлами А и Б по закону Ома:

Напряжение U является общим для всех ветвей, присоединенных к точкам А и Б. Это дает возможность использовать ту же формулу для определения токов в двух ветвях:

Ток в неразветвленной части цепи

Э. д. с. источника

Мощность источника

Мощность потребления энергии приемниками

К. п. д. источника

Задача 4.12.

Определить токи и составить баланс мощностей для схемы, изображенной на рис. 4.9, если известны: E₁ = 120 В; E₂ = 80 В; E₃ = 60 В; r₁ = 0,5 Ом; r₂ = 0,4 Ом; r₃ = 0,2 Ом; R₁ = 2 Ом; R₂ = 15,6 Ом; R₃ = 12,4 Ом; R₄ = 7,5 Ом; R₅ = 7,4 Ом.
Решение. Применяя метод узлового напряжения, найдем U_АБ по формуле (4.21). Предварительно зададим положительное направление токов от Б к А и подсчитаем проводимости ветвей:

Токи l₁ и l₃ положительны. Их направление совпадает с выбранным ранее условно-положительным направлением от узла Б к узлу А. Направление тока l₂ противоположно положительному направлению; в результате расчета этот ток получился отрицательным. На схеме рис. 4.9 пунктиром показано положительное направление токов в ветвях, а сплошной стрелкой — их действительное направление.

Для составления баланса мощностей необходимо подсчитать мощность каждого элемента схемы, в том числе и мощность потерь внутри источников. Заметим, что направления э. д. с. и токов во всех ветвях совпадают — источники Э. д. с. являются источниками энергии.
Мощности источников: P_1.1 = E₁I₁ = 120 • 7,3 = 876 Вт; P_1.2 = Е₂I₂ = 80 • 7,95 = 636 Вт; Р_1.3 = E₃I₃ = 60 • 0,65 = 39 Вт.
Общая мощность источников 1551 Вт.

При определении мощности источников можно не задумываться над тем, в каком режиме работает тот или другой источник. Ответ на этот вопрос дает знак полученной мощности, если токи и э. д. с. подставлять с теми знаками, какие были приняты или получены в расчете. Например, мощность второго источника положительна: P_1.2 = —80 • (—7,95) = 636 Вт. Это указывает на то, что в данной ветви работает источник энергии. Раньше Е₂ и I₂ сразу были взяты положительными, так как отмечено совпадение направлений напряжения и тока.

Мощность потерь внутри источников:
Общая мощность потерь внутри источников приблизительно 52 Вт. Мощность приемников:

Общая мощность приемников 1499 Вт.
Баланс мощностей (мощность источников равна мощности приемников плюс мощность потерь внутри источников) 1551 Вт = 1499 + 52 Вт.

Расчет электрических цепей методом эквивалентных сопротивлений (метод «свертывания» цепи)

Метод эквивалентных сопротивлений применяется для расчета таких электрических цепей, в которых имеются пассивные элементы, включенные между собой последовательно, параллельно или по смешанной схеме.

Определение эквивалентных сопротивлений

На схеме рис. 4.10, а сопротивления R₃ и R₄ включены последовательно: между ними (в точке 3) нет ответвления с током, поэтому I₃ = I₄. Эти два сопротивления можно заменить одним (эквивалентным), определив его как сумму
После такой замены получается более простая схема (рис. 4.10, б). Сопротивления R₂ и R_3.4 соединены параллельно, их можно заменить одним (эквивалентным), определив его по формуле (4.16):

и получить более простую схему (рис. 4.10, в).

Рис. 4.10. К методу эквивалентных сопротивлений

В схеме рис. 4.10, в сопротивления R₁, К_2.4, К₅ соединены последовательно. Заменив эти сопротивления одним (эквивалентным) сопротивлением между точками 1 и 5, получим простейшую схему (рис. 4.10, г).

Подобными преобразованиями схему смешанного соединения пассивных элементов с одним источником энергии в большинстве случаев можно привести к простейшей схеме. В более сложных схемах методом эквивалентных сопротивлений достигается упрощение, которое значительно облегчает расчет.

Определение токов

В простейшей схеме (рис. 4.10, г) ток I определяется по закону Ома с использованием формулы (3.15). Токи в других ветвях первоначальной схемы определяют, переходя от схемы к схеме в обратном порядке.
Из схемы рис. 4.10, в видно, что

Кроме того, напряжение между точками 2 и 4

Зная это напряжение, легко определить токи I₂ и I₃ = I₄:

После определения токов I₁ и I₅ напряжение U_2.4 можно найти как разность потенциалов между точками 2 и 4. Для этого положим V₄ известным (например, равным нулю), а V₂ найдем так же, как при построении потенциальной диаграммы, обойдя от точки 4 неразветвленный участок цепи с током I₁ =I₅:

Метод преобразования треугольника и звезды сопротивлений

Пассивные элементы в электрических цепях соединяются не только последовательно или параллельно. Во многих схемах можно выделить группы из трех элементов, образующих треугольник или звезду сопротивлений.
При расчете подобных цепей упрощение схем выполняют известным методом эквивалентных сопротивлений, но предварительно проводят преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду или наоборот.

Треугольник и звезда сопротивлений

Рассмотрим в качестве примера схему рис. 4 .11, а, которая применяется для измерения сопротивлений (схема моста Уитстона).

В этой схеме нет элементов, соединенных последовательно или параллельно, но имеются замкнутые контуры из трех сопротивлений (треугольники сопротивлений), причем точки, разделяющие каждую пару смежных сопротивлений, являются узловыми.

К узловым точкам a, b, c присоединен треугольник сопротивлений R_ab, R_bc, R_ca. Его можно заменить эквивалентной трехлучевой звездой сопротивлений R_a, R_b, R_c (на рисунке изображены штриховыми линиями), присоединенных с одной стороны к тем же точкам a, b, c, а с другой — в общей (узловой) точке e.

Рис. 4.11. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду

Смысл замены становится понятным при рассмотрении эквивалентной схемы 4.11, б, где сопротивления R_b и R_bd соединены между собой последовательно, так же как b сопротивления R_c и R_dc.
Две ветви между узловыми точками e и d с этими парами сопротивлений соединены параллельно. Соответствующими преобразованиями схему можно привести к простейшему виду.

Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду

Замена треугольника сопротивлений эквивалентной звездой и наоборот осуществляется при условии, что такая замена не изменяет потенциалов узловых точек a, b, c, являющихся вершинами треугольника и эквивалентной звезды.
Одновременно предполагают, что в остальной части схемы, не затронутой преобразованием, режим работы не изменяется (не меняются токи, напряжения, мощности). Для доказательства возможности перехода от треугольника к звезде и наоборот рассмотрим схемы рис. 4.11, в, г.
Эти схемы остаются эквивалентными для всех режимов, в том числе и для режима, при котором I_a = 0, что соответствует обрыву общего провода, ведущего к точке а. В этом случае в схеме треугольника между точками b и c включены параллельно две ветви с сопротивлениями R_bc и R_ab + R_ca
Общее сопротивление между этими точками

В схеме звезды между точками b и c включены последовательно сопротивления R_b и R_c. Общее сопротивление между этими точками R_b + R_c.
По условиям эквивалентности напряжение между точками b и c и токи I_b и I_c в обеих схемах должны быть одинаковыми. Следовательно, и сопротивления между точками b и c в обеих схемах одинаковы, т. е.

Полагая I_b =0, а затем I_c = 0, получим:

Совместное решение трех полученных уравнений приводит к следующим выражениям, которые служат для определения сопротивлений трехлучевой звезды по известным сопротивлениям эквивалентного треугольника:

Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник

Для расчета некоторых схем применяется преобразование трехлучевой звезды в эквивалентный треугольник, которое показано на рис. 4.12, а, где схема взята такой же, как на рис. 4.11, а.

При этом для определения параметров треугольника по заданным параметрам звезды пользуются формулами, которые записаны применительно к схемам рис. 4.12, а, б:

где G_ad; G_dc; G_ca — проводимости сторон треугольника; G_a; G_d; G_c — проводимости лучей звезды.

Зная проводимости, нетрудно определить сопротивления треугольника, если это необходимо.

Рис. 4.12. Преобразование трехлучевой звезды в эквивалентный треугольник

1. Электротехника
2. Основы теории цепей

• Методы анализа сложных электрических цепей
• Метод узловых напряжений
• Метод узловых потенциалов
• Принцип и метод наложения
• Цепи с распределенными параметрами
• Электрическая энергия, ее свойства и применение
• Электрическая цепь
• Электрический ток

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Расчет электрических цепей

Для вычисления рабочих параметров радиотехнических устройств и отдельных схем применяют специальные методики. После изучения соответствующих технологий результат можно узнать быстро, без сложных практических экспериментов. Корректный расчет электрических цепей пригодится на стадии проектирования и для выполнения ремонтных работ.

Задачи на расчет электрических цепей решают с применением типовых алгоритмов

Категории элементов и устройств электрической цепи

Для условного изображения определенной цепи применяют специальную схему. Кроме отдельных физических компонентов, она содержит сведения о направлении (силе) токов, уровнях напряжения и другую информацию. Качественная модель показывает реальные процессы с высокой точностью.

Компоненты электрической цепи:

• источник постоянного или переменного тока (Е) – аккумулятор или генератор, соответственно;
• пассивные элементы (R) – резисторы;
• компоненты с индуктивными (L) и емкостными (С) характеристиками;
• соединительные провода.

На рисунке обозначены:

• ветви – участки цепи с одним током;
• узлы – точки соединения нескольких ветвей;
• контур – замкнутый путь прохождения тока.

При решении практических задач выясняют, как узнать силу тока в отдельных ветвях. Полученные значения используют для анализа электрических параметров. В частности, можно определять падение напряжения на резисторе, мощность потребления подключенной нагрузки. При расчете цепей переменного тока приходится учитывать переходные энергетические процессы, влияние частоты.

Метод расчета по законам Ома и Кирхгофа

До изучения технологий вычислений необходимо уточнить особенности типовых элементов при подключении к разным источникам питания. При постоянном токе сопротивлением индуктивности можно пренебречь. Конденсатор эквивалентен разрыву цепи. Также следует учитывать следующие различия разных видов соединений резисторов:

• последовательное – увеличивает общее сопротивление;
• параллельное – распределяет токи по нескольким ветвям, что улучшает проводимость.

Закон Ома для участка цепи

Типовая аккумуляторная батарея легкового автомобиля вырабатывает напряжение U = 12 V. Бортовой или внешний амперметр покажет соответствующее значение при измерении. Соединение клемм проводом недопустимо, так как это провоцирует короткое замыкание. Если жила тонкая (< 1 мм), высокая плотность тока в соответствующем поперечном сечении быстро увеличит температуру вплоть до теплового разрушения материала с разрывом цепи. Этот пример демонстрирует функциональность обычного плавкого предохранителя.

Подключив нагрузку, можно мультиметром проверить напряжение. Значение этого параметра остается неизменным. Если известно сопротивление (пример – R = 50 Ом), применение закона Ома (I = U/ R) поможет рассчитать ток:

I = 12/ 50 = 0,24 А.

По вычисленному значению с использованием формулы быстро определяется мощность:

P = I2 *R = U2/ R = 0,0576 * 50 = 2,88 Вт.

К сведению. Результат показанного расчета пригодится для поиска подходящего резистора. Следует делать запас в сторону увеличения. По стандарту серийных изделий подойдет элемент с паспортной номинальной мощностью 5 Вт.

На практике приходится решать более сложные задачи. Так, при значительной длине линии нужно учесть влияние соединительных ветвей цепи. Через стальной проводник ток будет протекать хуже, по сравнению с медным аналогом. Следовательно, надо в расчете учитывать удельное сопротивление материала. Короткий провод можно исключить из расчета. Однако в нагрузке может быть два элемента. В любом случае общий показатель эквивалентен определенному сопротивлению цепи. При последовательном соединении Rэкв = R1 + R2 +…+ Rn. Данный метод пригоден, если применяется постоянный ток.

Закон Ома для полной цепи

Для вычисления такой схемы следует добавить внутреннее сопротивление (Rвн) источника. Как найти ток, показывает следующая формула:

Вместо напряжения (U) при расчетах часто используют типовое обозначение электродвижущей силы (ЭДС) – E.

Первый закон Кирхгофа

По классической формулировке этого постулата алгебраическая сумма токов, которые входят и выходят из одного узла, равна нулю:

I1 + I2 + … + In = 0.

Это правило действительно для любой точки соединения ветвей электрической схемы. Следует подчеркнуть, что в данном случае не учитывают характеристики отдельных элементов (пассивные, реактивные). Можно не обращать внимания на полярность источников питания, включенных в отдельные контуры.

Чтобы исключить путаницу при работе с крупными схемами, предполагается следующее использование знаков отдельных токов:

• входящие – положительные (+I);
• выходящие – отрицательные (-I).

Второй закон Кирхгофа

Этим правилом установлено суммарное равенство источников тока (ЭДС), которые включены в рассматриваемый контур. Для наглядности можно посмотреть, как происходит распределение контрольных параметров при последовательном подключении двух резисторов (R1 = 50 Ом, R2 = 10 Ом) к аккумуляторной батарее (Uакб = 12 V). Для проверки измеряют разницу потенциалов на выводах пассивных элементов:

• UR1 = 10 V;
• UR1 = 2 V;
• Uакб = 12 V = UR1 + UR2 = 10 + 2;
• ток в цепи определяют по закону Ома: I = 12/(50+10) = 0,2 А;
• при необходимости вычисляют мощность: P = I2 *R = 0,04 * (50+10) = 2,4 Вт.

Второе правило Кирхгофа действительно для любых комбинаций пассивных компонентов в отдельных ветвях. Его часто применяют для итоговой проверки. Чтобы уточнить корректность выполненных действий, складывают падения напряжений на отдельных элементах. Следует не забывать о том, что дополнительные источники ЭДС делают результат отличным от нуля.

Метод преобразования электрической цепи

Как определить силу тока в отдельных контурах сложных схем? Для решения практических задач не всегда нужно уточнение электрических параметров на каждом элементе. Чтобы упростить вычисления, используют специальные методики преобразования.

Расчет цепи с одним источником питания

Для последовательного соединения пользуются рассмотренным в примере суммированием электрических сопротивлений:

Rэкв = R1 + R2 + … + Rn.

Контурный ток – одинаковый в любой точке цепи. Проверять его можно в разрыве контрольного участка мультиметром. Однако на каждом отдельном элементе (при отличающихся номиналах) прибор покажет разное напряжение. По второму закону Кирхгофа можно уточнить результат вычислений:

E = Ur1 + Ur2 + Urn.

Параллельное соединение резисторов, схемотехника и формулы для расчетов

В этом варианте в полном соответствии с первым постулатом Кирхгофа токи разделяются и соединяются во входных и выходных узлах. Показанное на схеме направление выбрано с учетом полярности подключенного аккумулятора. По рассмотренным выше принципам сохраняется базовое определение равенства напряжений на отдельных компонентах схемы.

Как найти ток в отдельных ветвях, демонстрирует следующий пример. Для расчета приняты следующие исходные значения:

• R1 = 10 Ом;
• R2 = 20 Ом;
• R3= 15 Ом;
• U = 12 V.

По следующему алгоритму будут определяться характеристики цепи:

• базовая формула для трех элементов:

Rобщ = R1*R2*R3/(R1*R2 + R2*R3 + R1*R3.

• подставив данные, вычисляют Rобщ = 10 * 20 * 15 / (10*20 + 20*15 +10*15) = 3000 /(200+300+150) = 4,615 Ом;
• I = 12/ 4,615 ≈ 2,6 А;
• I1 = 12/ 10 = 1,2 А;
• I2 = 12/20 = 0,6 А;
• I3 = 12/15 = 0,8 А.

Как и в предыдущем примере, рекомендуется проверить результат вычислений. При параллельном соединении компонентов должно соблюдаться равенство токов на входе и суммарного значения:

I = 1,2 + 0,6 + 0,8 = 2,6 А.

Если применяется синусоидальный сигнал источника, вычисления усложняются. При включении в однофазную розетку 220V трансформатора придется учитывать потери (утечку) в режиме холостого хода. В этом случае существенное значение имеют индуктивные характеристики обмоток и коэффициент связи (трансформации). Электрическое сопротивление (ХL) зависит от следующих параметров:

• частоты сигнала (f);
• индуктивности (L).

Вычисляют ХL по формуле:

Чтобы находить сопротивление емкостной нагрузки, подойдет выражение:

Следует не забывать о том, что в цепях с реактивными компонентами сдвигаются фазы тока и напряжения.

Расчет разветвленной электрической цепи с несколькими источниками питания

Пользуясь рассмотренными принципами, вычисляют характеристики сложных схем. Ниже показано, как найти ток в цепи при наличии двух источников:

• обозначают компоненты и базовые параметры во всех контурах;
• составляют уравнения для отдельных узлов: a) I1-I2-I3=0, b) I2-I4+I5=0, c) I4-I5+I6=0;
• в соответствии со вторым постулатом Кирхгофа, можно записать следующие выражения для контуров: I) E1=R1 (R01+R1)+I3*R3, II) 0=I2*R2+I4*R4+I6*R7+I3*R3, III) -E2=-I5*(R02+R5+R6)-I4*R4;
• проверка: d) I3+I6-I1=0, внешний контур E1-E2=I1*(r01+R1)+I2*R2-I5*(R02+R5+R6)+I6*R7.

Пояснительная схема к расчету с двумя источниками

Дополнительные методы расчета цепей

В зависимости от сложности устройства (электрической схемы), выбирают оптимальную технологию вычислений.

Метод узлового напряжения

Основные принципы этого способа базируются на законе Ома и постулатах Кирхгофа. На первом этапе определяют потенциалы в каждом узле. Далее вычисляют токи в отдельных ветвях с учетом соответствующих электрических сопротивлений (отдельных компонентов или эквивалентных значений). Проверку делают по рассмотренным правилам.

Метод эквивалентного генератора

Эта технология подходит для быстрого расчета тока в одной или нескольких контрольных ветвях.

Графическое пояснение

В данной методике общую цепь представляют в виде источника тока с определенным напряжением и внутренним сопротивлением. Далее выполняют вычисления по контрольной ветви с применением стандартного алгоритма.

Видео