Вводится понятие допускаемого напряжения

ЛЕКЦИЯ 6. Осевое растяжение-сжатие стержней. Определение напряжений, деформаций и перемещений. Расчёты на прочность и жёсткость

1. Определение внутренних сил в растягиваемых и сжимаемых стержнях.

2. напряжения при растяжении (сжатии) прямого стержня. Понятие о допускаемом напряжении.

3. Определение деформаций и перемещений. Закон Гука.

4. Опытное изучение свойств материалов.

Растяжение и сжатие – это простой и часто встречающийся случай напряженного состояния элементов конструкции и деталей машин.

Читайте также: Собственная частота колебаний пружинного маятника

В таких условиях работает буксировочный канат или трос подъемного механизма, колонна здания.

Чистое (центральное) растяжение или сжатие возникает в элементе конструкции, если внешняя нагрузка вызывает в нем только одно внутреннее усилие, которое сопротивляется этой внешней нагрузке, — нормальную продольную силу.

При определении значений внутренних нормальных сил, действующих в поперечных сечениях стержней, примем следующее правило знаков:

— нормальная сила положительна, если сопротивляется растяжению стержня;

— нормальная сила отрицательна – если сопротивляется сжатию.

Для определения значений внутренней нормальной силы в любом из поперечных сечений используется метод сечений.

Пусть прямой стержень постоянной толщиной в одном конце закреплен, а к его другому торцу приложена растягивающая его вдоль оси стержня внешняя сила F.

Какое по величине внутреннее продольное усилие возникает в некотором поперечном сечении стержня n-n?

Прежде всего, отметим, что под действием закрепления и внешней силы стержень растягивается (деформируется), но никуда не движется, т.е. остается в равновесии.

Удобно вначале мысленно «снять» со стержня закрепление. Заменим его влияние на стержень эквивалентно действующей внешней силой. Эта сила равна реакции закрепления.

Т.е. в закреплении возникает некоторое усилие, благодаря которому верхний край стержня остается неподвижным. Это усилие называют реакцией закрепления на внешнюю нагрузку, передающееся на это закрепление через деформируемый стержень.

Незакрепленный стержень, теперь уже под действием двух внешних воздействий: известной силы и неизвестной пока реакции также никуда не движется, т.е. находится в равновесии.

Определить величину реакции поможет математическая формулировка этого факта.

Проведем координатную ось Оz, для удобства совпадающую с осью стержня. Стержень никуда не движется под действием силы и реакции в частности, не движется и вдоль оси, потому что проекции этих внешних сил на ось уравновешивают друг друга.

Такого рода факт в механике формулируется уравнением общего равновесия стержня: суммарная проекция на ось Оz всех действующих на стержень внешних сил, равна нулю:

Читайте также: Mypleer ♫ Слушать музыку онлайн и радио онлайн бесплатно без регистрации в плеере + Новости в фотографиях

При построении уравнений общего равновесия механики принято использовать следующее правило знаков:

· Проекция усилия на ось положительна, если ее направление совпадает с выбранным направлением этой оси;

· И наоборот – проекция отрицательна, если направлена в противоположную сторону.

Эпюры – графики внутренних усилий, напряжений, перемещений, деформаций, возникающих в элементах конструкций и деталях машин под воздействием внешней нагрузки.

Напряжения при растяжении (сжатии) прямого стержня

Предположим, растягивающую брус внешнюю силу удалось распределить равномерно по его торцам.

Опыты показывают. Что в этом случае каждое продольное волокно бруса подвержено только растяжению и в любом его поперечном сечении внутренние силы действуют только по нормали к этим сечениям.

Поперечные сечения бруса, плоские до деформации, под действием внешних сил перемещаются параллельно своему начальному положению и остаются постоянными.

Растягивающие стержень внешние силы не всегда удается распределить по площади стержня равномерно.

Но опыты показывают, что поведение поперечных сечений растягиваемых стержней, расположенных на некотором расстоянии от места приложения внешней нагрузки, уже не зависит от способа приложения этих сил и всегда соответствует гипотезе плоских сечений.

При рассмотрении деформаций растяжения или сжатия, а также при рассмотрении последующих простых деформаций нами будет рассматриваться принцип Сен-Венана, названный по имени французского ученого XIX века, который заключается в том, что внутренние силовые факторы, возникающие в результате действия внешних сил, распределяются по сечениям рассматриваемого тела равномерно.

Рассмотрим стержень, подверженный действию продольных сил

Если на поверхность призматического стержня нанести сетку линий параллельных и перпендикулярных оси стержня, и приложить к нему растягивающую силу, то можно убедиться в том, что линии сетки и после деформации останутся взаимно-перпендикулярными, но расстояние между ними изменятся.

Читайте также: Как подключить проводку к счетчику

Все горизонтальные линии, например, cd, переместятся вниз, оставаясь горизонтальными и прямыми.

Можно предположить, что и внутри стержня будет происходить то же самое, т.е. поперечные сечения стержня плоские и нормальные к его оси до деформации, останутся плоскими и нормальными к оси и после деформации.

Эту гипотезу называют гипотезой плоских сечений (гипотезой Бернулли).

Продольная сила N есть равнодействующая нормальных напряжений в поперечном сечении:

В частном случае, когда на стержень действует одна внешняя сила, из уравнения равновесия получим:

И вместо общей формулы получим частный вид формулы для растяжения:

Эти формулы справедливы и для сжатия, с той только разницей, что сжимающие напряжения считаются отрицательными.

Кроме того, сжатые стержни помимо расчета на прочность рассчитываются также и на устойчивость.

Очевидно, что эти напряжения в реальных условиях нельзя создавать больше или много меньше определенной величины. Поэтому вводится понятие допускаемого напряжения: — условие прочности.

Определение деформаций и перемещений. Закон Гука.

Опыты показывают, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются, при сжатии – наоборот.

Для многих материалов при нагружении до определенных пределов опыты показали следующую зависимость между относительным удлинением стержня и напряжением :

— абсолютное удлинение стержня

— длина образца до деформации

— длина образца после деформации

Эта зависимость носит название закона Гука и формулируется следующим образом: линейные деформации прямо пропорциональны нормальным напряжениям.

— коэффициент, зависящий от материала, т.е. его способность сопротивляться деформированию. Он характеризует жесткость материала, т.е. его способность сопротивляться деформированию.

Для других материалов значение можно найти в справочниках.

Имея ввиду, что для стержня постоянного сечения:

Можно получить формулу для определения полного (абсолютного) удлинения (укорочения) стержня:

Между продольным удлинением и поперечным существует зависимость:

Читайте также: Силикон для форм жидкий на основе олова Artline Silicone PRO

Здесь — коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона),который характеризует способность материала к поперечным деформациям.

При пользовании этой формулой удлинение считается положительным, а укорочение – отрицательным.

Для всех материалов .

Для стали при упругих деформациях можно принимать =0,3.

Зная можно определить полное поперечное сужение или расширение стержня : , где — поперечный размер стержня до деформации

— поперечный размер стержня после деформации.

В стержнях переменного сечения напряжения в поперечных сечениях можно считать распределенными равномерно (если угол конусности ) и определять их по той же формуле, что и для стержня постоянного сечения.

Для определения деформаций стержня переменного сечения, в поперечных сечениях которого действует продольная сила N, найдем сначала удлинение элемента длиной , которое является дифференциалом полного удлинения .

Согласно закону Гука, имеем:

Полное удлинение стержня получим, интегрируя выражение в пределах :

, если и — величины постоянные, то

Чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо знать закон изменения в зависимости от .

Для ступенчатых стержней интегрирование заменяется суммирование, и полное изменение длины бруса определяется как алгебраическая сумма деформаций его отдельных частей, в пределах которых :

Например, для стержня изображенного на схеме, имеем:

Определим теперь удлинение стержня постоянного сечения под действием силы тяжести, которая представляет собой нагрузку, равномерно распределенную вдоль стержня.

Удельный вес материала обозначим через .

Рассмотрим деформацию элемента , выделенного на расстоянии от нижнего конца.

Удлинение элемента равно:

Интегрируя это выражение в пределах, получим

Это выражение можно представить в другом виде, если учесть, что сила тяжести бруса равна: или , тогда получим — формула по определению перемещения с учетом собственного веса при известной длине

Следовательно, удлинение бруса постоянного сечения от собственной силы тяжести в два раза меньше удлинения от действия силы, равной силе тяжести и приложенной к его концу.

Опытное изучение свойств материалов

Для изучения свойств материалов и установления значения предельных (по разрушению или по пластическим деформациям) производят испытания образцов материала вплоть до разрушения. По виду деформации различают испытания на растяжение, сжатие, кручение и изгиб.

Испытания производят при статической и ударной (испытание на усталость и выносливость) нагрузках на ГМС – 50.

Цель испытания на растяжение – определение механических характеристик материала.

При проведении испытания автоматически записывается диаграмма зависимости между растягивающей силой и удлинением образца.

Условия и порядок выполнения работы

1. Стальной стержень ступенчатого сечения находится под действием внешней силы и собственного веса.

2. Необходимо построить эпюры:

· нормальных продольных сил

· перемещения сечений стержня относительно жесткой заделки.

Площадь большего поперечного сечения стержня в 2 раза превышает меньшую.

2.5. Расчеты на жесткость при растяжении

2.5. РАСЧЕТЫ НА ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Иногда наряду с условиями прочности добавляют ограничения на перемещение некоторых элементов конструкции, то есть вводят условие жесткости δmax ≤ [δ], где [δ] – величина допускаемого перемещения (изменение положения в пространстве) некоторого контролируемого сечения. Деформацию растягиваемого или сжимаемого элемента вычисляют по формуле (2. 4) закона Гука. Пример 2.1. Выполнить поверочный и проектный расчеты ступенчатого бруса. По результатам проектного расчета построить эпюру перемещения сечений. Исходные данные представлены в таблице: Решение Разбиваем брус на участки. Границей участка считают: а) точку приложения силового фактора; б) изменение размеров или формы поперечного сечения; в) изменение материала бруса. Брус одним концом защемлен, и в опоре возникает реакция R (рис. 2.5, а). Для нахождения внутренних усилий при подходе слева направо, придется определять опорную реакцию R. Указанную процедуру можно избежать при подходе справа налево, то есть со свободного конца. 1. Поверочный расчет А. Определение внутренних усилий. Применяем метод сечений. Рассекаем брус на две части в произвольном сечении участка I. Отбрасываем одну из частей (левую). Заменяем действие отброшенной части внутренним усилием NI. Внутреннее усилие всегда принимаем положительным, растягивающим; его вектор направлен от сечения (рис. 2.5, б). Уравнение равновесия составляем проецируя все силы на продольную ось x бруса Знак минус указывает на то, что усилие является сжимающим. Аналогично находим внутренние усилия на втором и третьем участках (рис. 2.5, в и г): Строим эпюру внутренних усилий – график, изображающий закон изменения внутренних усилий по длине бруса. Параллельно оси бруса проводим базисную линию (абсциссу графика) и по нормали к ней откладываем найденные выше значения внутренних усилий (ординаты графика) в выбранном масштабе с учетом знака. Положительные значения откладываем выше базисной линии, отрицательные – ниже (рис. 2.5, д). Поскольку в пределах каждого из участков внутренние усилия неизменны, высоты ординат графика – постоянны и огибающие линии (жирные) – горизонтальны. Б. Определение напряжений на каждом из участков: Строим эпюру напряжений. В. Коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу текучести: Вывод: недогружен участок I, перегружен участок III. Для этих участков выполняем проектный расчет. 2. Проектный расчет Из условия прочности при растяжении σ = ≤ [σ] выполняем подбор размеров поперечных сечений I и III участков, предварительно назначив допускаемое напряжение Нормативный коэффициент запаса прочности выбрали из рекомендуемого диапазона значений [nт] = 1,3–2,2. 3. Определение перемещений сечений А. Удлинения каждого из участков Б. Перемещения сечений. За начало отсчета принимаем сечение d. Оно защемлено, его перемещение равно нулю δd = 0. Строим эпюру перемещений. Выводы 1. Выполнен поверочный расчет ступенчатого бруса. Прочность одного из элементов обеспечена; другого – избыточна; третьего – не- достаточна. 2. Из условия прочности при растяжении подобраны площади попе- речных сечений двух элементов конструкции. 3. По результатам проектного расчета вычислены деформации каждого элемента конструкции. Крайнее сечение переместится относительно защемления на 217 мкм в сторону от защемления. Пример 2.2. К стальному брусу постоянного сечения вдоль его оси приложены две силы. По условиям эксплуатации введено ограничение на величину перемещения [δ] концевого сечения С. Из условий прочности и жесткости подобрать размер поперечного сечения. Решение 1. Определение внутренних усилий Покажем возникающую в опоре реакцию R; определение внутренних усилий методом сечений начнем вести со свободного конца. Ось х – про- дольная ось бруса (на рисунке не показана). I участок: ∑ x = 0; − NI + F1 = 0; ⇒ NI = F1 = 40кН. II участок: ∑ x = 0; − NII + F1 − F2 = 0; ⇒ NII = F1 − F2 = 40 − 60 = −20кН . F1 = 40 кН; F2 = 60 кН; a = 0,5 м; [σ] = 180 МПа; [δ] = 1 мм. Строим эпюру внутренних усилий. Опасным является участок I, на котором действует Nmax = – 40 кН (пластичные материалы одинаково сопротивляются деформации растяжения и сжатия). 2. Проектный расчет из условия прочности Из условия прочности при растяжении находим требуемую площадь поперечного сечения стержня 3. Проектный расчет из условия жесткости Перемещение сечения С является суммой двух слагаемых: откуда требуемая площадь поперечного сечения стержня Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений площади поперечного сечения: 2,22 и 1,5 см2, удовлетворяющее обоим условиям: А ≥ 2,22 см2. Пример 2.3. Жесткая балка (ее деформацией пренебречь) подперта стальным стержнем (подкосом). Проверить прочность стержня. Определить допускаемую нагрузку F для заданного размера поперечного сечения стержня. Выполнить проектный расчет из условия прочности и жесткости ([δF] – допускаемая величина перемещения балки в точке приложения силы). Решение 1. Поверочный расчет А. Определение внутреннего усилия в стержне Рассекаем стержень на две части (рис. а). Отбрасываем одну из частей и показываем внешнюю нагрузку F, внутреннее усилие N и две составляющих опорной реакции R (рис. б). Составляем такое уравнение равновесия, в которое не вошли бы опорные реакции. Усилие в стержне сжимающее. Б. Определение напряжения В. Коэффициент запаса прочности Фактический коэффициент запаса 1,06 не входит в рекомендуемый (нормативный) диапазон значений [nт]=1,3−2,3. Вывод: прочность недостаточна. 2. Определение допускаемой нагрузки на конструкцию для заданного размера поперечного сечения стержня Из условия прочности при растяжении σ = ≤ [σ] находим допускаемую нагрузку на стержень [N]≤ A⋅[σ]= 15⋅10−4 ⋅170⋅106 = 255 кН. Здесь допускаемое Нормативный коэффициент запаса по текучести назначили из рекомендуемого диапазона n[ т]=1,3−2,3. Из условия равновесия (см. этап 1) находим связь между допускаемой внешней нагрузкой [F] на конструкцию и внутренним усилием [N] в стержне: 3. Проектный расчет из условия прочности Требуемое значение площади поперечного сечения из условия прочности при растяжении: 4. Проектный расчет из условия жесткости Под действием внешней нагрузки стержень деформируется; сечения балки изменяют свое положение в пространстве. Установим связь между внутренним усилием, деформацией стержня и перемещением заданного сечения конструкции. Покажем схему в исходном и деформированном (пунктирные линии) состояниях (рис. в). Контролируемое перемещение сечения балки в точке D приложения силы δF связано с перемещением узла С точки прикрепления стержня к балке соотношением: Вследствие перемещения узла С стержень укорачивается на Δ = CC′⋅sinα. Деформацию стержня определяем по закону Гука: Здесь ℓ – длина стержня, определяется из схемы нагружения (рис. а). Тогда из условия жесткости конструкции: Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений: 28,2 и 33,3 см2, удовлетворяющее обоим условиям, то есть А ≥ 33,3 см2. Выводы 1. Выполнен поверочный расчет стержня. Прочность элемента конструкции недостаточна. 2. Для заданного размера поперечного сечения нагрузка F, приложенная к конструкции, не должна превышать 42,5 кН. 3. Из условий прочности и жесткости при растяжении найдено значение площади поперечного сечения элемента конструкции, удовлетворяющее обоим условиям: 33,3 см2.

Для чего вводиться понятие допускаемого напряжения

Понятие о допускаемом напряжении. Условие прочности. Коэффициент запаса прочности

Напряжение пропорционально внутреннему усилию и обратно пропорционально площади поперечного сечения.

Допустимым (допускаемым) напряжением называется величина, ограничивающая верхний предел рабочих напряжений возникающих под действием заданных нагрузок.

Когда говорят о напряжениях, то имеют в виду напряжение в точке сечения. Учитывая принятое в сопротивлении материалов допущение, что материал детали однороден и изотропен, получаем, что напряжения в каждой точке сечения одинаковы.

В сечении стержня выделена маленькая площадка ∆A, на которой действует внутренняя сила ∆R. Тогда среднее напряжение на площадке равно Рср = ∆R/∆A.Уменьшая размеры площадки до уровня точки, получим

Р = lim ∆R/∆A = dR/dA – напряжение в точке сечения. ∆A→0

Полное напряжение Р можно разложить на две составляющие:

1)составляющую, нормальную к плоскости сечения σ — нормальное напряжение;

2)составляющую, лежащую в плоскости сечения τ — касательное или тангенциальное напряжение.

Для чего вводится понятие допускаемого напряжения. Допускаемые напряжения

Допускаемое (допустимое) напряжение – это значение напряжения, которое считается предельно приемлемым при вычислении размеров поперечного сечения элемента, рассчитываемого на заданную нагрузку. Можно говорить о допускаемых напряжениях растяжения, сжатия и сдвига. Допускаемые напряжения либо предписываются компетентной инстанцией (скажем, отделом мостов управления железной дороги), либо выбираются конструктором, хорошо знающим свойства материала и условия его применения. Допускаемым напряжением ограничивается максимальное рабочее напряжение конструкции.

При проектировании конструкций ставится цель создать конструкцию, которая, будучи надежной, в то же время была бы предельно легкой и экономной. Надежность обеспечивается тем, что каждому элементу придают такие размеры, при которых максимальное рабочее напряжение в нем будет в определенной степени меньше напряжения, вызывающего потерю прочности этим элементом. Потеря прочности не обязательно означает разрушение. Машина или строительная конструкция считается отказавшей, когда она не может удовлетворительно выполнять свою функцию. Деталь из пластичного материала, как правило, теряет прочность, когда напряжение в ней достигает предела текучести, так как при этом из-за слишком большой деформации детали машина или конструкция перестает соответствовать своему назначению. Если же деталь выполнена из хрупкого материала, то она почти не деформируется, и потеря ею прочности совпадает с ее разрушением.

Запас прочности. Разность напряжения, при котором материал теряет прочность, и допускаемого напряжения есть тот «запас прочности», который необходимо предусматривать, учитывая возможность случайной перегрузки, неточностей расчета, связанных с упрощающими предположениями и неопределенными условиями, наличия не обнаруженных (или не обнаружимых) дефектов материала и последующего снижения прочности из-за коррозии металла, гниения дерева и пр.

Коэффициент запаса. Коэффициент запаса прочности какого-либо элемента конструкции равен отношению предельной нагрузки, вызывающей потерю прочности элемента, к нагрузке, создающей допускаемое напряжение. При этом под потерей прочности понимается не только разрушение элемента, но и появление в нем остаточных деформаций. Поэтому для элемента конструкции, выполненного из пластичного материала, предельным напряжением является предел текучести. В большинстве случаев рабочие напряжения в элементах конструкции пропорциональны нагрузкам, а поэтому коэффициент запаса определяется как отношение предела прочности к допускаемому напряжению (коэффициент запаса по пределу прочности). Так, если предел прочности конструкционной стали равен 540 МПа, а допускаемое напряжение – 180 МПа, то коэффициент запаса равен 3.

Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации.

Прочность конструкции, выполненной из хрупкого металла, считается обеспеченной, если во всех поперечных сечениях всех ее элементов фактические напряжения меньше предела прочности материала. Величины нагрузок, напряжения в конструкции и предел прочности материала нельзя установить совершенно точно (в связи с приближенностью методики расчета, способов определения предела прочности и т. д.).

Поэтому необходимо, чтобы наибольшие напряжения, полученные в результате расчета конструкции (расчетные напряжения), не превышали некоторой величины, меньшей предела прочности, называемой допускаемым напряжением. Значение допускаемого напряжения устанавливается путем деления предела прочности на величину, большую единицы, называемую коэффициентом запаса.

В соответствии с изложенным условие прочности конструкции, выполненной из хрупкого материала, выражается в виде

где — наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения в конструкции; и [-допускаемые напряжения при растяжении и сжатии соответственно.

Читайте также: Рекомендации для при нервных напряжениях

Допускаемые напряжения зависят от пределов прочности материала на растяжение и сжатие ствс и определяются выражениями

где — нормативный (требуемый) коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности.

В формулы (39.2) и (40.2) подставляются абсолютные значения напряжений

Для конструкций из пластичных материалов (у которых пределы прочности на растяжение и сжатие одинаковы) используется следующее условие прочности:

где а — наибольшее по абсолютной величине сжимающее или растягивающее расчетное напряжение в конструкции.

Допускаемое напряжение для пластичных материалов определяется по формуле

где — нормативный (требуемый) коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести.

Использование при определении допускаемых напряжений для пластичных материалов предела текучести (а не предела прочности, как для хрупких материалов) связано с тем, что после достижения предела текучести деформации могут весьма резко увеличиваться даже при незначительном увеличении нагрузки и конструкции могут перестать удовлетворять условиям их эксплуатации.

Расчет прочности, выполняемый с использованием условий прочности (39.2) или (41.2), называется расчетом по допускаемым напряжениям. Нагрузка, при которой наибольшие напряжения в конструкции равны допускаемым напряжениям, называется допускаемой.

Деформации ряда конструкций из пластичных материалов после достижения предела текучести не возрастают резко даже при существенном увеличении нагрузки, если она не превышает величины так называемой предельной нагрузки. Такими, например, являются статически неопределимые конструкции (см. § 9.2), а также конструкции с элементами, испытывающими деформации изгиба или кручения.

Расчет этих конструкций производят или по допускаемым напряжениям, т. е. с использованием условия прочности (41.2), или по так называемому предельному состоянию. В последнем случае допускаемую нагрузку называют предельно допускаемой нагрузкой, а ее величину определяют путем деления предельной нагрузки на нормативный коэффициент запаса несущей способности. Два простейших примера расчета конструкции по предельному состоянию приведены ниже в § 9.2 и примере расчета 12.2.

Следует стремиться к тому, чтобы допускаемые напряжения были полностью использованы, т. е. удовлетворялось условие если это по ряду причин (например, в связи с необходимостью стандартизации размеров элементов конструкции) не удается, то расчетные напряжения должны как можно меньше отличаться от допускаемых. Возможно незначительное превышение расчетных допускаемых напряжений и, следовательно, некоторое снижение фактического коэффициента запаса прочности (по сравнению с нормативным).

Расчет центрально растянутого или сжатого элемента конструкции на прочность должен обеспечить выполнение условия прочности для всех поперечных сечений элемента. При этом большое значение имеет правильное определение так называемых опасных сечений элемента, в которых возникают наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения. В тех случаях, когда допускаемые напряжения на растяжение или сжатие одинаковы, достаточно найти одно опасное сечение, в котором имеются наибольшие по абсолютной величине нормальные напряжения.

При постоянной по длине бруса величине продольной силы опасным является поперечное сечение, площадь которого имеет наименьшее значение. При брусе постоянного сечения опасным является то поперечное сечение, в котором возникает наибольшая продольная сила.

При расчет конструкций на прочность встречаются три вида задач, различающихся формой использования условий прочности:

а) проверка напряжений (проверочный расчет);

б) подбор сечений (проектный расчет);

в) определение грузоподъемности (определение допускаемой нагрузки). Рассмотрим эти виды задач на примере растянутого стержня из пластичного материала.

При проверке напряжений площади поперечных сечений F и продольные силы N известны и расчет заключается в вычислении расчетных (фактических) напряжений а в характерных сечениях элементов.

Полученное при этом наибольшее напряжение сравнивают затем с допускаемым:

При подборе сечений определяют требуемые площади поперечных сечений элемента (по известным продольным силам N и допускаемому напряжению ). Принимаемые площади сечений F должны удовлетворять условию прочности, выраженному в следующем виде:

При определении грузоподъемности по известным значениям F и допускаемому напряжению вычисляют допускаемые величины продольных сил: По полученным значениям затем определяются допускаемые величины внешних нагрузок [Р].

Для этого случая условие прочности имеет вид

Величины нормативных коэффициентов запаса прочности устанавливаются нормами. Они зависят от класса конструкции (капитальная, временная и т. п.), намечаемого срока ее эксплуатации, нагрузки (статическая, циклическая и т. п.), возможной неоднородности изготовления материалов (например, бетона), от вида деформации (растяжение, сжатие, изгиб и т. д.) и других факторов. В ряде случаев приходится снижать коэффициент запаса в целях уменьшения веса конструкции, а иногда увеличивать коэффициент запаса — при необходимости учитывать износ трущихся частей машин, коррозию и загнивание материала.

Читайте также: Повышающий регулятор напряжения lm2577

Величины нормативных коэффициентов запаса для различных материалов, сооружений и нагрузок имеют в большинстве случаев значения: — от 2,5 до 5 и — от 1,5 до 2,5.

Коэффициенты запаса прочности, а следовательно, и допускаемые напряжения для строительных конструкций регламентированы соответствующими нормами их проектирования. В машиностроении обычно выбирают требуемый коэффициент запаса прочности, ориентируясь на опыт проектирования и эксплуатации машин аналогичных конструкций. Кроме того, ряд передовых машиностроительных заводов имеет внутризаводские нормы допускаемых напряжений, часто используемые и другими родственными предприятиями.

Ориентировочные величины допускаемых напряжений при растяжении и сжатии для ряда материалов приведены в приложении II.

Позволяют определить предельные напряжения (), при которых материал образца непосредственно разрушается или в нем возникают большие пластические деформации.

Предельное напряжение в расчетах на прочность

В качестве предельного напряжения в расчетах на прочность принимается:

предел текучести для пластичного материала (считается, что разрушение пластичного материала начинается при появлении в нем заметных пластических деформаций)

предел прочности для хрупкого материала, значение которого при различно:

Для обеспечения реальной детали необходимо так выбрать ее размеры и материал, чтобы возникающее в некоторой ее точке при эксплуатации наибольшее было меньше предельного:

Однако даже если наибольшее расчетное напряжение в детали будет близко к предельному напряжению, гарантировать ее прочность еще нельзя.

Действующие на деталь, не могут быть установлены достаточно точно,

расчетные напряжения в детали могут быть вычислены иногда лишь приближенно,

возможны отклонения действительных от расчетных характеристик.

Деталь должна быть спроектирована с некоторым расчетным коэффициентом запаса прочности :

Ясно, что чем больше n, тем прочнее деталь. Однако очень большой коэффициент запаса прочности приводит к перерасходу материала, и это делает деталь тяжелой и неэкономичной.

В зависимости от назначения конструкции устанавливается требуемый коэффициент запаса прочности .

Условие прочности : прочность детали считается обеспеченной, если . Используя выражение , перепишем условие прочности в виде:

Отсюда можно получить и другую форму записи условия прочности :

Отношение, стоящее в правой части последнего неравенства, называют допускаемым напряжением :

Если предельные и, следовательно, допускаемые напряжения при растяжении и сжатии различны, их обозначают и . Пользуясь понятием допускаемого напряжения , можно условие прочности сформулировать следующим образом: прочность детали обеспечена, если возникающее в ней наибольшее напряжение не превышает допускаемого напряжения .

Предельным напряжением считают напряжение, при котором в материале возникает опасное состояние (разрушение или опасная деформация).

Для пластичных материалов предельным напряжением считают предел текучести, т.к. возникающие пластические деформации не исчезают после снятия нагрузки:

Для хрупких материалов, где пластические деформации отсутствуют, а разрушение возникает по хрупкому типу (шейки не образуется), за предельное напряжение принимают предел прочности:

Для пластично-хрупких материалов предельным напряжением считают напряжение, соответствующее максимальной деформации 0,2% (сто,2):

Допускаемое напряжение — максимальное напряжение, при котором материал должен нормально работать.

Допускаемые напряжения получают по предельным с учетом запаса прочности:

где [σ] — допускаемое напряжение; s — коэффициент запаса прочности; [s] — допускаемый коэффициент запаса прочности.

Примечание. В квадратных скобках принято обозначать допускаемое значение величины.

Допускаемый коэффициент запаса прочности зависит от качества материала, условий работы детали, назначения детали, точности обработки и расчета и т. д.

Он может колебаться от 1,25 для простых деталей до 12,5 для сложных деталей, работающих при переменных нагрузках в условиях ударов и вибраций.

Особенности поведения материалов при испытаниях на сжатие:

1. Пластичные материалы практически одинаково работают при растяжении и сжатии. Механические характеристики при растяжении и сжатии одинаковы.

2. Хрупкие материалы обычно обладают большей прочностью при сжатии, чем при растяжении: σ вр 4,29 (Приложение 1).

Контрольные вопросы и задания

1. Какое явление называют текучестью?

2. Что такое «шейка», в какой точке диаграммы растяжения она образуется?

3. Почему полученные при испытаниях механические характеристики носят условный характер?

Читайте также: Как определить падение напряжения для однофазного

4. Перечислите характеристики прочности.

5. Перечислите характеристики пластичности.

6. В чем разница между диаграммой растяжения, вычерченной автоматически, и приведенной диаграммой растяжения?

7. Какая из механических характеристик выбирается в качестве предельного напряжения для пластичных и хрупких материалов?

8. В чем различие между предельным и допускаемым напряжениями?

9. Запишите условие прочности при растяжении и сжатии. Отличаются ли условия прочности при расчете на растяжение и расчете на сжатие?

Ответьте на вопросы тестового задания.

Для оценки прочности элементов конструкций вводятся понятия о рабочих (расчетных) напряжениях, предельных напряжениях, допускаемых напряжениях и запасах прочности. Их рассчитывают по зависимостям, представленным в п. 4.2, 4.3.

Рабочие (расчетные) напряжения  и характеризуют напряженное состояние элементов конструкций при действии эксплуатационной нагрузки.

Предельные напряжения  lim и  lim характеризуют механические свойства материала и являются опасными для элемента конструкции с точки зрения его прочности.

Допускаемые напряжения [  ] и [  ] являются безопасными и обеспечивают прочность элемента конструкции в данных условиях эксплуатации.

Запас прочности n устанавливает соотношение предельных и допускаемых напряжений, учитывая отрицательное влияние на прочность различных неучтенных факторов.

Для безопасной работы деталей механизмов необходимо, чтобы максимальные напряжения, возникающие в нагруженных сечениях, не превышали допускаемого для данного материала значения:

;
,

где
и
– наибольшие напряжения (нормальные и касательные ) в опасном сечении;
и– допускаемые значения этих напряжений.

При сложном сопротивлении определяют эквивалентные напряжения
в опасном сечении. Условие прочности имеет вид

Допускаемые напряжения определяют в зависимости от предельных напряжений  lim и  lim , полученных при испытаниях материалов: при статических нагрузках – предел прочности
иτ В для хрупких материалов, предел текучести
иτ Т для пластичных материалов; при циклических нагрузках – предел выносливости иτ r :

;
.

Коэффициент запаса прочности назначают исходя из опыта проектирования и эксплуатации аналогичных конструкций.

Для деталей машин и механизмов, работающих в условиях циклических нагрузок и имеющих ограниченный ресурс эксплуатации, расчет допускаемых напряжений осуществляют по зависимостям:

;
,

где
– коэффициент долговечности, учитывающий заданный срок службы.

Рассчитывают коэффициент долговечности по зависимости

где
– базовое число циклов испытаний для данного материала и вида деформации;
– число циклов нагружения детали, соответствующее заданному ресурсу эксплуатации;m – показатель степени кривой выносливости.

При проектировании элементов конструкций используют два способа расчетов на прочность:

проектировочный расчет по допускаемым напряжениям для определения основных размеров конструкции;

проверочный расчет для оценки работоспособности существующей конструкции.

5.5. Примеры расчета

5.5.1. Расчет ступенчатых стержней на статическую прочность

ассмотрим напряженное состояние стержней ступенчатой конструкции при простых видах деформаций. На рис. 5.3 представлены три схемы (сх. 1, 2, 3) нагружения силамиFкруглых стержней переменного сечения, консольно закрепленных в жесткой опоре, и три эпюры напряжений (эп. 1, 2, 3), действующих в поперечных сечениях нагруженных стержней. СилаF= 800 Н приложена на расстоянииh= 10 мм от оси стержня. Меньший диаметр стержнейd= 5 мм, большийD= 10 мм. Материал стержней – Ст. 3 с допускаемыми напряжениями
= 160 МПа и= 100 МПа.

Для каждой из представленных схем определяем:

сх. 1 – растяжение; сх. 2 – кручение; сх. 3 – чистый изгиб.

2. Внутренний силовой фактор:

сх. 2 – крутящий момент М Х = T = 2Fh = 280010 = 16000 Н мм;

сх. 3 – изгибающий момент M = 2Fh = 280010 = 16000 Н мм.

3. Вид напряжений и их величину в сечениях А и Б:

сх. 1 – нормальные
:

МПа;

сх. 2 – касательные
:

МПа;

сх. 3 – нормальные
:

МПа;

МПа.

4. Какая из эпюр напряжений соответствует каждой схеме нагружения :

сх. 1 – эп. 3; сх. 2 – эп. 2; сх. 3 – эп. 1.

5. Выполнение условия прочности :

сх. 1 – условие выполняется:
МПа
МПа;

сх. 2 – условие не выполняется:
МПа
МПа;

сх. 3 – условие не выполняется:
МПа
МПа.

6. Минимально допустимый диаметр, обеспечивающий выполнение условия прочности :

сх. 2:
мм;

сх. 3:
мм.

7. Максимально допустимую силу F из условия прочности :

сх. 2:
Н;

сх. 3:
Н.

Для чего вводится понятие допускаемого напряжения. Допускаемые напряжения